1. Calcule o módulo de elasticidade cm carregamento longitudinal e transversal de um material compósito unidirecional formado 60 \% \mathrm{v} / \mathrm{v} de fibra de vidro contínuas. O módulo de elasticidade do vidro é 72,3 \mathrm{GPa} e o da resina 3,1 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o módulo de elasticidade do compósito unidirecional nos carregamentos longitudinal e transversal.
Informações dadas:
  • Fração volumétrica de fibra: v_f = 0,60 (ou 60\% v/v).
  • Fração volumétrica da matriz (resina): v_m = 1 - v_f = 0,40.
  • Módulo de elasticidade da fibra (vidro): E_f = 72,3\\ \text{GPa}.
  • Módulo de elasticidade da matriz (resina): E_m = 3,1\\ \text{GPa}.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e simples):
  • Para um compósito unidirecional com fibras contínuas, o comportamento elástico é bem aproximado por duas regras clássicas:
    • Carregamento longitudinal (na direção das fibras): as fibras e a matriz deformam praticamente com a mesma deformação quando a carga é aplicada ao longo das fibras. Nesse caso as rigidezes se somam proporcionalmente às frações volumétricas — isso é chamado de regra das misturas na configuração “paralela”.
    • Carregamento transversal (perpendicular às fibras): a tensão aplica-se sobre camadas que têm propriedades diferentes em série, de modo que a deformação total é a soma das deformações parciais — isso leva à regra das misturas na configuração “em série”, ou seja, à soma de compliance (recíproco do módulo).
  • Vou usar essas duas fórmulas simples porque o enunciado dá um compósito unidirecional contínuo e esses modelos são os que se aplicam diretamente e são usados em provas. As fórmulas são razoavelmente fáceis de aplicar sem calculadora (apenas aritmética).
Definição das variáveis (para não haver confusão):
  • E_f = módulo da fibra.
  • E_m = módulo da matriz (resina).
  • v_f = fração volumétrica de fibra.
  • v_m = fração volumétrica da matriz.
  • E_L = módulo longitudinal (na direção das fibras).
  • E_T = módulo transversal (perpendicular às fibras).

Passo 3

Fórmula e derivação curta para o módulo longitudinal:
  • Regra das misturas (configuração paralela): a rigidez efetiva é a soma ponderada dos módulos pelas frações volumétricas, porque a deformação \varepsilon é praticamente a mesma em fibra e matriz quando a carga é paralela às fibras. A fórmula é
E_L = E_f\,v_f + E_m\,v_m.
  • Aqui cada termo E_i v_i representa a contribuição da fase i (fibra ou matriz) à rigidez total na direção considerada.

Passo 4

Cálculo numérico do módulo longitudinal passo a passo:
  • Substituindo os números:
E_L = 72,3\cdot 0,60 + 3,1\cdot 0,40.
  • Calcule cada produto:
72,3\cdot 0,60 = 43,38
3,1\cdot 0,40 = 1,24
  • Some os dois:
E_L = 43,38 + 1,24 = 44,62\\ \text{GPa}.
(Interpretação rápida: o módulo longitudinal é dominado pela fibra, por isso é bem maior que o da resina.)

Passo 5

Fórmula e derivação curta para o módulo transversal:
  • Na direção transversal a fibra e a matriz ficam, efetivamente, “em série” quanto à rigidez: a tensão é repartida mas as deformações somam-se. Trabalhando com a compliance (recíproco do módulo), a regra das misturas em série dá
\frac{1}{E_T} = \frac{v_f}{E_f} + \frac{v_m}{E_m}.
  • Depois de calcular o lado direito, inverto para obter E_T.

Passo 6

Cálculo numérico do módulo transversal passo a passo:
  • Primeiro calcule cada fração:
\frac{v_f}{E_f} = \frac{0,60}{72,3} \approx 0,0082988,
\frac{v_m}{E_m} = \frac{0,40}{3,1} = \frac{4}{31} \approx 0,1290323.
  • Some as duas contribuições:
\frac{1}{E_T} \approx 0,0082988 + 0,1290323 = 0,1373311.
  • Inverta para obter E_T:
E_T \approx \frac{1}{0,1373311} \approx 7,2819\\ \text{GPa}.
  • Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (como fizemos no E_L):
E_T \approx 7,28\\ \text{GPa}.
(Interpretação rápida: como a matriz é muito mais flexível que a fibra, a resposta transversal fica bastante reduzida.)

Passo 7

Unidades, precisão e dica de prova:
  • Todos os cálculos estão em \text{GPa} porque os módulos dados estavam em \text{GPa}. Não é preciso converter nada.
  • Em prova, escreva as fórmulas primeiro, substitua os valores com atenção às vírgulas decimais e, se pedir, justifique por que escolheu a regra paralela para E_L e a série para E_T.
  • Se quiser mais rapidez em prova, memorize que E_L é aproximadamente a média ponderada e E_T é obtido pela média ponderada das compliances.

Resposta

E_L = 44,62\\ \text{GPa}
E_T = 7,28\\ \text{GPa}

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