Calcule o módulo de elasticidade em tração de um compósito do tipo laminado constituído por 62 \% em volume de fibras de carbono unidirecionais e por uma matriz de resina epóxi, e que é solicitado em condições de isotensão. Os módulos de elasticidade em tração de carbono e da resina epóxi são, respectivamente, 340 GPa e 4,5 \times 10^{3} \mathrm{Mpa}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o módulo de elasticidade em tração de um compósito laminado constituído por fibras de carbono unidirecionais e matriz epóxi, quando o compósito é solicitado em condições de isotensão.
Informações fornecidas:
  • Fração volumétrica de fibras: 62\%.
  • Fração volumétrica da matriz: (implícita) 100\%-62\%=38\%.
  • Módulo de elasticidade das fibras de carbono: E_f = 340\\ \mathrm{GPa}.
  • Módulo de elasticidade da resina epóxi: E_m = 4{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
O que é pedido: o valor numérico do módulo de elasticidade do compósito sob isotensão (dar resposta final em unidades adequadas).

Passo 2

Entendendo o que significa “isotensão” e a fórmula a usar (aula curta e didática).
  • “Isotensão” significa que, sob a carga considerada, a tensão é a mesma nos dois constituintes do compósito: a tensão aplicada \sigma vale tanto para as fibras quanto para a matriz. Em fórmulas:
    \sigma_c = \sigma_f = \sigma_m = \sigma.
    Onde \sigma_c é a tensão média no compósito, \sigma_f na fibra e \sigma_m na matriz.
  • Como cada fase é elástica linear, a deformação em cada fase é dada por:
    \epsilon_f=\frac{\sigma}{E_f},\qquad \epsilon_m=\frac{\sigma}{E_m}.
    Aqui \epsilon é deformação (alongamento relativo) e E o módulo de elasticidade.
  • A deformação média do compósito \epsilon_c é a média volumétrica das deformações das fases:
    \epsilon_c=V_f\,\epsilon_f+V_m\,\epsilon_m,
    onde V_f e V_m são as frações volumétricas das fibras e da matriz, respectivamente.
  • Substituindo \epsilon_f e \epsilon_m:
    \epsilon_c=\sigma\!\left(\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}\right).
  • O módulo efetivo do compósito E_c relaciona tensão e deformação média por \sigma=\epsilon_c\,E_c, então
    E_c=\frac{\sigma}{\epsilon_c}=\frac{1}{\dfrac{V_f}{E_f}+\dfrac{V_m}{E_m}}.
    Essa é a fórmula do “arranjo em série” (regra harmônica) aplicável a condições isotensão.

Passo 3

Preparar os dados e unidades para calcular: converter tudo para a mesma unidade (usar \mathrm{MPa}) e transformar porcentagens em frações decimais.
  • Converter E_f para \mathrm{MPa}: E_f = 340\\ \mathrm{GPa} = 340\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
  • Já foi dado E_m em \mathrm{MPa}: E_m = 4{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
  • Frações volumétricas: V_f = 62\% = 0{,}62,\qquad V_m = 0{,}38.

Passo 4

Calcular os termos separados da soma no denominador da fórmula harmônica:
\frac{V_f}{E_f}=\frac{0{,}62}{340\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}} \qquad\text{e}\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0{,}38}{4{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}}.
Fazendo as divisões (mostrar passo a passo):
\frac{0{,}62}{340\times10^{3}}=0{,}62\div340000=1{,}8235294117647059\times10^{-6}\\ \mathrm{MPa}^{-1},
\frac{0{,}38}{4{,}5\times10^{3}}=0{,}38\div4500=8{,}444444444444444\times10^{-5}\\ \mathrm{MPa}^{-1}.

Passo 5

Somar os termos do denominador e inverter para obter E_c:
\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}=1{,}8235294117647059\times10^{-6}+8{,}444444444444444\times10^{-5}.
\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}=8{,}626797385620915\times10^{-5}\\ \mathrm{MPa}^{-1}.
Agora inverter:
E_c=\frac{1}{8{,}626797385620915\times10^{-5}\\ \mathrm{MPa}^{-1}}=11594{,}736842105264\\ \mathrm{MPa}.
Converter para \mathrm{GPa} (mais conveniente):
E_c=11{,}594736842105264\\ \mathrm{GPa}\approx11{,}59\\ \mathrm{GPa}.
Pequena interpretação física (rápida): o módulo efetivo sob isotensão fica bem mais próximo do módulo da fase mais macia (a matriz), porque, em arranjo em série, a fase mais deformável domina a deformação total.

Resposta

E_c \approx 11{,}59\\ \mathrm{GPa}

Exercícios relacionados