1. A luz verde tem um cumprimento de onda 5,0 \times 10^{2} \mathrm{~nm}. Qual a energia em J de um fóton de luz verde? Qual a energia em J de 1 mol de fótons de luz verde?
  2. A linha mais proeminente do espectro de emissão do mercúrio está a 396,15 \mathrm{~nm}. Qual é a frequência dessa linha. Calcule a energia de um fóton com esse comprimento de onda? de uma mole desses mesmos fotons?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • Parte 1: “A luz verde tem um comprimento de onda 5,0\times10^{2}\\ \mathrm{nm}.” Perguntas:
    • Qual a energia em J de um fóton dessa luz verde?
    • Qual a energia em J de 1 mol desses fótons?
  • Parte 2: “A linha mais proeminente do mercúrio está a 396,15\\ \mathrm{nm}.” Perguntas:
    • Qual é a frequência dessa linha?
    • Calcule a energia de um fóton com esse comprimento de onda.
    • Calcule a energia de 1 mol desses fotons.
Dados fixos que usarei (constantes físicas):
  • Constante de Planck: h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Número de Avogadro: N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Um fóton tem energia dada por
E = h\nu,
onde:
  • E é a energia do fóton em joules ( \mathrm{J}),
  • h é a constante de Planck em \mathrm{J\,s},
  • \nu (lembre-se: letra grega “nu”) é a frequência em \mathrm{Hz} (sinal de Hertz = s^{-1}).
  • Relação entre frequência e comprimento de onda:
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde:
  • c é a velocidade da luz em \mathrm{m\,s^{-1}},
  • \lambda é o comprimento de onda em metros ( \mathrm{m}).
  • Combinando as duas, uma fórmula prática muito usada é
E = \frac{h c}{\lambda}.
Essa é útil quando o problema dá \lambda (como aqui).
  • Energia por mol de fótons: multiplicar a energia de um fóton por N_A:
E_{\text{mol}} = N_A \, E_{\text{fóton}}.ó
  • Importante: os comprimentos de onda estão em nanômetros (nm). Conversão:
1\\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos tudo numericamente, com calma.

Passo 3

Parte 1 — converter o comprimento de onda da luz verde para metros.
O enunciado dá \lambda_{\text{verde}} = 5,0\times10^{2}\\ \mathrm{nm}.
Converter para metros:
\lambda_{\text{verde}} = 5,0\times10^{2}\\ \mathrm{nm} = 5,0\times10^{2}\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Parte 1 — calcular a energia de um fóton de luz verde usando E=\dfrac{h c}{\lambda}.
Primeiro calculo o produto h c (usado frequentemente como constante):
h c = \left(6,62607015\times10^{-34}\right)\left(2,99792458\times10^{8}\right) = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Agora aplico a fórmula:
E_{\text{verde}} = \frac{h c}{\lambda_{\text{verde}}} = \frac{1,98644586\times10^{-25}}{5,0\times10^{-7}}
Faço a divisão em potências de dez e a mantissa:
\frac{1,98644586}{5,0} = 0,397289172 \quad\text{e}\quad 10^{-25} / 10^{-7} = 10^{-18}.
Portanto
E_{\text{verde}} = 0,397289172\times10^{-18}\\ \mathrm{J} = 3,97289172\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para um número razoável de algarismos significativos (os dados originais têm duas casas decimais em 5,0), podemos escrever
E_{\text{verde}} \approx 3,97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Parte 1 — energia de 1 mol de fótons verdes.
Multiplico pelo número de Avogadro:
E_{\text{mol,verde}} = N_A\,E_{\text{verde}} = \left(6,02214076\times10^{23}\right)\left(3,97289172\times10^{-19}\right).
Faço a mantissa e os expoentes:
6,02214076\times3,97289172 \approx 23,919794 \quad\text{e}\quad 10^{23}\times10^{-19}=10^{4}.
Logo
E_{\text{mol,verde}} \approx 23,919794\times10^{4}\\ \mathrm{J} = 2,3919794\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma compatível:
E_{\text{mol,verde}} \approx 2,39\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
(ou 239\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}).

Passo 6

Parte 2 — começo: converter o comprimento de onda do mercúrio para metros.
O enunciado dá \lambda_{\text{Hg}} = 396,15\\ \mathrm{nm}.
Converter:
\lambda_{\text{Hg}} = 396,15\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 3,9615\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Parte 2 — calcular a frequência dessa linha usando \nu = \dfrac{c}{\lambda}.
\nu_{\text{Hg}} = \frac{2,99792458\times10^{8}}{3,9615\times10^{-7}}.
Faço a divisão das mantissas e dos expoentes:
\frac{2,99792458}{3,9615} \approx 0,7569039 \quad\text{e}\quad 10^{8}/10^{-7}=10^{15}.
Portanto
\nu_{\text{Hg}} \approx 0,7569039\times10^{15}\\ \mathrm{Hz} = 7,569039\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando:
\nu_{\text{Hg}} \approx 7,57\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Parte 2 — energia de um fóton do mercúrio. Posso usar E=h\nu ou E=\dfrac{h c}{\lambda}. Vou usar E=\dfrac{h c}{\lambda_{\text{Hg}}} para manter consistência.
E_{\text{Hg}} = \frac{1,98644586\times10^{-25}}{3,9615\times10^{-7}}.
Divisão das mantissas e expoentes:
\frac{1,98644586}{3,9615} \approx 0,5018039 \quad\text{e}\quad 10^{-25}/10^{-7}=10^{-18}.
Logo
E_{\text{Hg}} \approx 0,5018039\times10^{-18}\\ \mathrm{J} = 5,018039\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
E_{\text{Hg}} \approx 5,02\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
(Verificação rápida: usando E=h\nu com \nu encontrado daria o mesmo valor, como deveria.)

Passo 9

Parte 2 — energia de 1 mol de fótons de 396,15\\ \mathrm{nm}.
Multiplico pelo número de Avogadro:
E_{\text{mol,Hg}} = N_A\,E_{\text{Hg}} = \left(6,02214076\times10^{23}\right)\left(5,018039\times10^{-19}\right).
Mantissas e expoentes:
6,02214076\times5,018039 \approx 30,22949 \quad\text{e}\quad 10^{23}\times10^{-19}=10^{4}.
Portanto
E_{\text{mol,Hg}} \approx 30,22949\times10^{4}\\ \mathrm{J} = 3,022949\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
E_{\text{mol,Hg}} \approx 3,02\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
(ou 302\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}).

Resposta

Parte 1 — energia de cada fóton verde: 3,97\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
Parte 1 — energia de 1 mol de fótons verdes: 2,39\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
Parte 2 — frequência da linha do mercúrio: 7,57\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
Parte 2 — energia de cada fóton (mercúrio, 396,15\\ \mathrm{nm}): 5,02\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
Parte 2 — energia de 1 mol desses fótons: 3,02\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}

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