Calcule o módulo da velocidade que adquiriria um corpo se, partindo do repouso de um ponto \mathbf{B}, infinitamente afastado, caísse livremente na superfície da Terra em um ponto \mathbf{A}. Despreze todos os movimentos da Terra (raio igual a 6,4 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} ), a influência do ar e adote o módulo da aceleração da gravidade na superfície do planeta igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo da velocidade que um corpo adquire ao cair livremente, partindo do repouso em um ponto B infinitamente afastado, até atingir a superfície da Terra em A. O conteúdo fundamental aqui é a conservação da energia mecânica no campo gravitacional, usando o potencial de uma massa pontual.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica:
K_\infty + U_\infty \;=\; K_A + U_A.
Como K_\infty=0 e costuma-se tomar U_\infty=0, e em A temos K_A=\tfrac12\,m\,v^2 e
U_A = -\frac{G\,M\,m}{R},
segue
\frac12\,m\,v^2 \;=\; \frac{G\,M\,m}{R}.

Passo 3

Na superfície da Terra, o campo gravitacional satisfaz
g \;=\;\frac{G\,M}{R^2},
logo
G\,M = g\,R^2.

Passo 4

Substituindo G\,M em \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac{G\,M\,m}{R} e cancelando m, obtém-se
\frac12\,v^2 = \frac{g\,R^2}{R} = g\,R \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\,g\,R}.

Passo 5

Numericamente, com g=10\:\mathrm{m/s^2} e R=6{,}4\times10^6\:\mathrm{m},
v = \sqrt{2 \times 10 \times 6{,}4\times10^6} = \sqrt{1{,}28\times10^8} \approx 1{,}13\times10^4\:\mathrm{m/s}.

Resposta

1{,}13\times10^4\:\mathrm{m/s} (aproximadamente 11{,}3\:\mathrm{km/s}).

Exercícios relacionados