Calcule o momento da força de 450 N sobre A, (a) usando a definição do momento de uma força, (b) decompondo a força em componentes horizontal e vertical e (c) decompondo a força em componentes ao longo de A B e na direção perpendicular a A B.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o momento da força de 450\\ \text{N} em relação ao ponto A por três métodos:
    1. (a) Usando a definição vetorial do momento (produto vetorial \mathbf{r}\times\mathbf{F}).
    2. (b) Decompondo a força em componentes horizontal e vertical e somando os momentos dessas componentes.
    3. (c) Decompondo a força em uma componente ao longo de AB e outra perpendicular a AB.
Informações relevantes dadas (retiradas da figura):
  • Módulo da força: \;450\\ \text{N}.
  • Ângulo entre a força e a direção horizontal mostrado na figura: \;60^\circ.
  • Distâncias mostradas na figura: duas distâncias verticais de 125\\ \text{mm} (uma acima e outra abaixo da linha central) e distâncias horizontais 200\\ \text{mm} e 300\\ \text{mm}.
  • Ponto de aplicação da força: em B, localizado na extremidade inferior do membro vertical; a linha média horizontal passa pelo flanco do membro.
  • Adotar o ponto A como referência para calcular o momento.
Observação sobre orientação (importante): pela figura a força aponta em direção a B vindo da direita-abaixo, ou seja, tem componente para a esquerda e para cima. Vou usar essa orientação para definir os sinais das componentes da força.

Passo 2

Método (a) — definição vetorial do momento. Aqui eu explico a teoria em palavras simples antes de aplicar.
  • Definição do momento (2D): para uma força \mathbf{F}=(F_x,F_y) aplicada em um ponto cuja posição relativa a A é \mathbf{r}=(x,y), o momento escalar em torno de A (o componente perpendicular ao plano) é
M_A = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = xF_y - yF_x.
Explicando as variáveis: x é a distância horizontal (positiva para a direita) do ponto A até o ponto de aplicação; y é a distância vertical (positiva para cima) do ponto A até o ponto de aplicação; F_x e F_y são as componentes da força nas direções x e y. O sinal de M_A indica sentido do momento: M_A>0 corresponde a momento que tende a girar o corpo no sentido anti-horário (convencional).
  • Primeiro, colocar coordenadas numéricas. Vou tomar:
    • x = 300\\ \text{mm} = 0{,}300\\ \text{m} (distância horizontal de A até a linha vertical onde B está).
    • y = -125\\ \text{mm} = -0{,}125\\ \text{m} (como B está abaixo da linha de referência, tomo y negativo).
      (Esses valores são os extraídos da figura: 300\\ \text{mm} horizontal e 125\\ \text{mm} vertical para B.)
  • Agora as componentes da força. Pela orientação observada, a força aponta para a esquerda e para cima; o ângulo dado é 60^\circ medido a partir da horizontal (conforme figura). Então o ângulo medido a partir do eixo +x é \;120^\circ (porque a força vai para a esquerda e para cima).
    • Usando trigonometria:
    F_x = F\cos 120^\circ,\qquad F_y = F\sin 120^\circ.
    Substituindo F=450\\ \text{N} e sabendo \cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}, \sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},
    F_x = 450\cos 120^\circ = 450\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -225\\ \text{N},
F_y = 450\sin 120^\circ = 450\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx 450(0{,}8660254)\approx 389{,}71\\ \text{N}.
Comentário didático: o sinal negativo em F_x indica componente para a esquerda; F_y positivo indica componente para cima.
  • Aplicando a fórmula do momento:
M_A = xF_y - yF_x.
Agora inserir os números (com x=0{,}300\\ \text{m}, y=-0{,}125\\ \text{m}, F_x=-225\\ \text{N}, F_y\approx389{,}71\\ \text{N}):
M_A = (0{,}300)(389{,}71) - (-0{,}125)(-225).
Calcular passo a passo:
(0{,}300)(389{,}71)=116{,}913\\ \text{N}\cdot\text{m},
(-0{,}125)(-225)=28{,}125\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Portanto
M_A = 116{,}913 - 28{,}125 = 88{,}788\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Interpretação do sinal: M_A>0, logo o momento tende a girar o corpo no sentido anti-horário (sentido positivo convencional). Arredondando para duas casas decimais: M_A\approx 88{,}79\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Método (b) — decompor a força nas componentes horizontal e vertical e somar momentos parciais.
  • Ideia: o momento total é soma dos momentos produzidos por cada componente da força. Para a componente horizontal F_x (aplicada em B), o braço perpendicular em relação a A é a coordenada vertical y. Para a componente vertical F_y, o braço perpendicular é a coordenada horizontal x. Em fórmula:
M_A = M_{F_x} + M_{F_y} = -yF_x + xF_y,
que é exatamente a mesma expressão xF_y - yF_x.
  • Calcular separadamente:
    • Momento devido a F_x:
    M_{F_x} = -yF_x = -(-0{,}125)(-225) = 0{,}125\cdot(-225) = -28{,}125\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    O valor negativo indica que essa componente sozinha produziria giro horário (sentido negativo).
    • Momento devido a F_y:
    M_{F_y} = xF_y = 0{,}300\cdot 389{,}71 = 116{,}913\\ \text{N}\cdot\text{m},
    que é sentido anti-horário (positivo).
  • Somando:
M_A = M_{F_x} + M_{F_y} = -28{,}125 + 116{,}913 = 88{,}788\\ \text{N}\cdot\text{m},
o mesmo resultado do método (a). Arredondando: 88{,}79\\ \text{N}\cdot\text{m} (anti-horário).

Passo 4

Método (c) — decompor a força em componentes ao longo de AB e na direção perpendicular a AB, e usar os braços perpendiculares apropriados.
  • Observação geométrica: na figura o segmento AB é vertical. Portanto:
    • Componente da força ao longo de AB é simplesmente a componente vertical F_y (positiva para cima).
    • Componente perpendicular a AB é a componente horizontal F_x.
      Portanto esta decomposição coincide, em essência, com a decomposição horizontal/vertical, mas é útil pensar em termos dos braços:
    • A componente ao longo de AB (vertical) gera momento em torno de A com braço igual à distância horizontal do eixo AB até A, que é x=0{,}300\\ \text{m}.
    • A componente perpendicular a AB (horizontal) gera momento com braço igual à distância vertical entre A e a linha de ação da componente horizontal, que é |y|=0{,}125\\ \text{m}.
  • Cálculo:
    • Momento da componente ao longo de AB (vertical):
    M_{\parallel} = x\cdot F_y = 0{,}300\cdot 389{,}71 = 116{,}913\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • Momento da componente perpendicular a AB (horizontal):
    M_{\perp} = -|y|\cdot F_x = -0{,}125\cdot(-225) = -28{,}125\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    (o sinal negativo mostra que essa componente produz giro horário).
  • Somando os dois momentos:
M_A = M_{\parallel} + M_{\perp} = 116{,}913 - 28{,}125 = 88{,}788\\ \text{N}\cdot\text{m},
novamente igual aos métodos anteriores. Arredondando: 88{,}79\\ \text{N}\cdot\text{m} (anti-horário).

Passo 5

Conclusão didática e verificação: os três métodos são equivalentes (produtos vetoriais, decomposição cartesiana, decomposição ao longo/normal a AB). Em todos os casos obteve-se o mesmo valor numérico e o mesmo sentido do momento: M_A\approx 88{,}79\\ \text{N}\cdot\text{m} no sentido anti-horário. Se estiver fazendo à prova sem calculadora, use frações trigonométricas conhecidas ( \cos120^\circ=-\tfrac{1}{2}, \sin120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}) e mantenha as distâncias em metros para obter N\cdot m.

Resposta

M_A = 88{,}79\\ \mathrm{N\cdot m} (sentido anti-horário)

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