Calcule o momento da força de 450 N sobre
, (a) usando a definição do momento de uma força, (b) decompondo a força em componentes horizontal e vertical e (c) decompondo a força em componentes ao longo de
e na direção perpendicular a
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o momento da força de
em relação ao ponto por três métodos: - (a) Usando a definição vetorial do momento (produto vetorial
). - (b) Decompondo a força em componentes horizontal e vertical e somando os momentos dessas componentes.
- (c) Decompondo a força em uma componente ao longo de
e outra perpendicular a .
- (a) Usando a definição vetorial do momento (produto vetorial
Informações relevantes dadas (retiradas da figura):
- Módulo da força:
- Ângulo entre a força e a direção horizontal mostrado na figura:
- Distâncias mostradas na figura: duas distâncias verticais de
(uma acima e outra abaixo da linha central) e distâncias horizontais e . - Ponto de aplicação da força: em
, localizado na extremidade inferior do membro vertical; a linha média horizontal passa pelo flanco do membro. - Adotar o ponto
como referência para calcular o momento.
Observação sobre orientação (importante): pela figura a força aponta em direção a
vindo da direita-abaixo, ou seja, tem componente para a esquerda e para cima. Vou usar essa orientação para definir os sinais das componentes da força.
Passo 2
Método (a) — definição vetorial do momento. Aqui eu explico a teoria em palavras simples antes de aplicar.
- Definição do momento (2D): para uma força
aplicada em um ponto cuja posição relativa a é , o momento escalar em torno de (o componente perpendicular ao plano) é
Explicando as variáveis:
é a distância horizontal (positiva para a direita) do ponto
até o ponto de aplicação;
é a distância vertical (positiva para cima) do ponto
até o ponto de aplicação;
e
são as componentes da força nas direções
e
. O sinal de
indica sentido do momento:
corresponde a momento que tende a girar o corpo no sentido anti-horário (convencional).
-
Primeiro, colocar coordenadas numéricas. Vou tomar:
-
(distância horizontal de até a linha vertical onde está). -
(como está abaixo da linha de referência, tomo negativo).
(Esses valores são os extraídos da figura:horizontal e vertical para .)
-
-
Agora as componentes da força. Pela orientação observada, a força aponta para a esquerda e para cima; o ângulo dado é
medido a partir da horizontal (conforme figura). Então o ângulo medido a partir do eixo é (porque a força vai para a esquerda e para cima). - Usando trigonometria:
Substituindoe sabendo , ,
Comentário didático: o sinal negativo em
indica componente para a esquerda;
positivo indica componente para cima.
- Aplicando a fórmula do momento:
Agora inserir os números (com
,
,
,
):
Calcular passo a passo:
Portanto
Interpretação do sinal:
, logo o momento tende a girar o corpo no sentido anti-horário (sentido positivo convencional). Arredondando para duas casas decimais:
.
Passo 3
Método (b) — decompor a força nas componentes horizontal e vertical e somar momentos parciais.
- Ideia: o momento total é soma dos momentos produzidos por cada componente da força. Para a componente horizontal
(aplicada em ), o braço perpendicular em relação a é a coordenada vertical . Para a componente vertical , o braço perpendicular é a coordenada horizontal . Em fórmula:
que é exatamente a mesma expressão
.
-
Calcular separadamente:
- Momento devido a
:
O valor negativo indica que essa componente sozinha produziria giro horário (sentido negativo).- Momento devido a
:
que é sentido anti-horário (positivo). - Momento devido a
-
Somando:
o mesmo resultado do método (a). Arredondando:
(anti-horário).
Passo 4
Método (c) — decompor a força em componentes ao longo de
e na direção perpendicular a
, e usar os braços perpendiculares apropriados.
-
Observação geométrica: na figura o segmento
é vertical. Portanto: - Componente da força ao longo de
é simplesmente a componente vertical (positiva para cima). - Componente perpendicular a
é a componente horizontal .
Portanto esta decomposição coincide, em essência, com a decomposição horizontal/vertical, mas é útil pensar em termos dos braços: - A componente ao longo de
(vertical) gera momento em torno de com braço igual à distância horizontal do eixo até , que é . - A componente perpendicular a
(horizontal) gera momento com braço igual à distância vertical entre e a linha de ação da componente horizontal, que é .
- Componente da força ao longo de
-
Cálculo:
- Momento da componente ao longo de
(vertical):
- Momento da componente perpendicular a
(horizontal):
(o sinal negativo mostra que essa componente produz giro horário). - Momento da componente ao longo de
-
Somando os dois momentos:
novamente igual aos métodos anteriores. Arredondando:
(anti-horário).
Passo 5
Conclusão didática e verificação: os três métodos são equivalentes (produtos vetoriais, decomposição cartesiana, decomposição ao longo/normal a
). Em todos os casos obteve-se o mesmo valor numérico e o mesmo sentido do momento:
no sentido anti-horário. Se estiver fazendo à prova sem calculadora, use frações trigonométricas conhecidas (
,
) e mantenha as distâncias em metros para obter
.