A tração no cabo de suporte A B é 290 N . Determine as componentes vertical e horizontal da força que atuam no pino em A.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes vertical e horizontal da força que atua no pino em A devido à tração no cabo AB. Peguei estes dados da imagem fornecida:
  • Tração no cabo AB: 290\\ \mathrm{N}.
  • Distância vertical entre A e B: 600\\ \text{mm}.
  • Distância horizontal (projeção) entre a parede e B: 250\\ \text{mm}.

Passo 2

Vamos representar a força como um vetor que parte do ponto A em direção ao ponto B. Isso porque a tração puxa o pino em A na direção do cabo, ou seja, no sentido de A para B. Para encontrar as componentes horizontal e vertical, precisamos:
  • obter as coordenadas (ou deslocamentos) do vetor \overrightarrow{AB};
  • calcular o comprimento de \overrightarrow{AB};
  • achar a componente unitária (direção) e multiplicar pela magnitude 290\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Escrevendo os deslocamentos do vetor \overrightarrow{AB} (peguei os valores da imagem):
  • deslocamento horizontal: \Delta x = 250\\ \text{mm} (para a direita),
  • deslocamento vertical: \Delta y = -600\\ \text{mm} (para baixo, por isso negativo).
O comprimento |\overrightarrow{AB}| é dado pelo Teorema de Pitágoras:
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{(250)^{2}+(-600)^{2}}\\ \text{mm}.
Calculando:
(250)^{2}=62\,500,\qquad (600)^{2}=360\,000,
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{62\,500+360\,000}=\sqrt{422\,500}=650\\ \text{mm}.

Passo 4

Agora obtemos o vetor unitário na direção de A para B dividindo cada componente pelo comprimento:
\hat{u}=\frac{1}{|\overrightarrow{AB}|}\begin{pmatrix}\Delta x\\[4pt]\Delta y\end{pmatrix} =\frac{1}{650}\begin{pmatrix}250\\[4pt]-600\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{250}{650}\\[6pt]\dfrac{-600}{650}\end{pmatrix}.
Simplificando as frações (dividindo por 50):
\hat{u}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{13}\\[6pt]-\dfrac{12}{13}\end{pmatrix}.
Explicação curta do que fiz aqui (aula rápida): o vetor unitário \hat{u} indica somente a direção do cabo, sem mudar a magnitude. Para obter componentes de uma força, multiplicamos a magnitude da força pelo vetor unitário. Aqui as frações \dfrac{5}{13} e \dfrac{12}{13} são os cosseno e seno (com sinal) do ângulo que o cabo faz com a horizontal, respectivamente.]

Passo 5

Multiplicamos a magnitude da tração pela direção para obter as componentes:
\begin{pmatrix}F_x\\[4pt]F_y\end{pmatrix} =290\cdot\hat{u} =290\cdot\begin{pmatrix}\dfrac{5}{13}\\[6pt]-\dfrac{12}{13}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{290\cdot 5}{13}\\[6pt]-\dfrac{290\cdot 12}{13}\end{pmatrix}.
Façamos as contas sem calculadora, passo a passo:
\dfrac{290\cdot 5}{13}=\dfrac{1\,450}{13}.
Dividindo 1\,450 por 13: 13\cdot111=1\,443, resto 7, logo
\dfrac{1\,450}{13}=111+\dfrac{7}{13}\approx111,538\ldots
Arredondando a uma casa decimal: 111,5.
Para a componente vertical:
\dfrac{290\cdot 12}{13}=\dfrac{3\,480}{13}.
Dividindo 3\,480 por 13: 13\cdot267=3\,471, resto 9, então
\dfrac{3\,480}{13}=267+\dfrac{9}{13}\approx267,692\ldots
Arredondando a uma casa decimal: 267,7.
Como já tínhamos o sinal negativo na fração, temos F_y=-267,7\\ \mathrm{N} (para baixo).]

Passo 6

Interpretação das direções (para a prova: sempre indique o sentido):
  • F_x=+111,5\\ \mathrm{N}: componente horizontal atua para a direita (afastando-se da parede).
  • F_y=-267,7\\ \mathrm{N}: componente vertical atua para baixo (no sentido de B estar abaixo de A).

Passo 7

Podemos verificar recompondo a magnitude:
\sqrt{(111,538\ldots)^{2}+(267,692\ldots)^{2}}\approx\sqrt{12\,444,9+71\,660,6}\approx\sqrt{84\,105,5}\approx290,
confirmando que a decomposição está correta (pequenas diferenças são por arredondamento).

Resposta

F_x=111,5\\ \mathrm{N} (para a direita)
F_y=-267,7\\ \mathrm{N} (para baixo)

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