- Calcule o momento de inércia de um cone circular reto homogêneo, de massa
e raio da base
, em relação ao eixo do cone. Sugestão: Considere o cone como uma pilha de discos circulares de alturas infinitésimas e raios decrescentes.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o momento de inércia de um cone circular reto homogêneo, de massa
e raio da base
, em relação ao eixo do cone (eixo de simetria, passando pelo vértice e pelo centro da base).
Informações fornecidas e suposições que usarei:
Informações fornecidas e suposições que usarei:
- O cone é homogêneo (densidade volumétrica constante).
- A base do cone tem raio
. - A massa total é
. - Vou chamar de
a altura do cone (não fornecida no enunciado); ela aparecerá nos passos intermediários, mas o resultado final deve ficar em termos de e apenas. - Vou usar a sugestão: modelar o cone como uma pilha de discos circulares de espessura infinitesimal.
Passo 2
Relembrando o conceito usado: o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado por
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo. A ideia prática: dividir o cone em fatias (discos) perpendiculares ao eixo, escrever o momento de inércia de cada disco e somar (integrar) ao longo da altura.
Definições de variáveis e coordenadas:
- Coloco o vértice do cone em
e a base em , medindo ao longo do eixo do cone. - Um disco situado em posição
tem espessura e raio . Pela semelhança de triângulos entre o triângulo lateral do cone e o triângulo formado até ,
Passo 3
Momento de inércia de um disco fino: um disco circular uniforme de massa
e raio
, em relação ao seu eixo central, tem momento de inércia
Usarei essa fórmula aplicando-a ao disco localizado em
, com massa
e raio
. Assim a contribuição elementar para o momento de inércia é
Passo 4
Expressar
em termos da densidade volumétrica uniforme
e do volume do disco. O volume do disco de espessura
e raio
é
. Como o corpo é homogêneo,
Substituindo
obtemos
Passo 5
Agora substituímos
em
. Temos:
Simplificando os fatores de
,
e
,
Passo 6
Integramos
ao longo de
desde
até
para obter o momento de inércia total:
Calcule a integral:
Logo
Passo 7
Agora escrevemos a densidade
em função da massa total
. O volume do cone é
Como
,
Substituindo
na expressão obtida para
:
Agora simplificar cancelando termos iguais (
, um fator
, e reduzindo
):
Passo 8
Interpretação final e observação prática: o resultado não depende da altura
; para um cone sólido homogêneo de massa
e raio de base
, o momento de inércia em relação ao eixo de simetria é proporcional a
com o fator
. Força mental: pense que a massa está “mais concentrada” perto da base, por isso o coeficiente é menor que o do cilindro maciço
mas maior que de uma massa pontual.