- Um alçapão quadrado, de lado a e massa
, está levantado verticalmente, em equilíbrio sobre as dobradiças, quando é levado a cair por uma ligeira trepidação. Desprezando o atrito, que velocidade angular terá adquirido ao bater no chão?
Passo 1
O enunciado dá um alçapão quadrado de lado
e massa
, apoiado nas dobradiças (num dos lados) e mantido vertical. Ele é solto e cai até ficar horizontal, sem atrito. A pergunta é: qual a velocidade angular
adquirida no momento em que bate no chão?
Informações relevantes do enunciado:
- Lado do quadrado:
. - Massa do alçapão:
. - Sem atrito (energia mecânica conservada).
- Alçapão parte do repouso na posição vertical e atinge a posição horizontal.
- Procurar:
quando o alçapão chega à posição horizontal.
Passo 2
Estratégia física (conservação de energia mecânica).
- Como não há atrito, a energia mecânica total se conserva.
- Inicialmente o alçapão está em repouso, logo sua energia cinética é zero; só tem energia potencial gravitacional.
- Ao chegar na posição horizontal, parte da energia potencial foi convertida em energia cinética de rotação.
- Portanto: perda de energia potencial do centro de massa = ganho de energia cinética rotacional.
Escrevendo isso:
onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é a variação (queda) da altura do centro de massa, -
é o momento de inércia do quadrado em relação ao eixo das dobradiças, -
é a velocidade angular final que queremos achar.
Vou agora calcular
e
.
Passo 3
Cálculo da queda de altura
do centro de massa.
- O centro de massa de uma lâmina quadrada uniforme fica no seu centro geométrico, a uma distância
do eixo das dobradiças (eixo passando por um dos lados). - Parametrizamos o ângulo
do alçapão medido a partir da posição horizontal: quando horizontal, quando vertical. - A componente vertical da posição do centro de massa relativa ao eixo é
. - Assim, inicialmente (vertical)
. Finalmente (horizontal) . - Então a queda de altura é
Passo 4
Cálculo do momento de inércia em relação ao pivô:
.
- Primeiro calculamos o momento de inércia em relação ao centro, em um eixo paralelo ao das dobradiças (ou seja, eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado do quadrado). Para uma lâmina retangular uniforme de dimensões
, esse momento (referido ao eixo que atravessa o centro e é paralelo a um lado) é
Explicação rápida deste número: o momento de inércia em relação a um eixo que percorre o centro e é paralelo ao lado corresponde à integral
tomando
a coordenada perpendicular ao eixo; fazendo a integral sobre a área com densidade superficial constante dá
. (Se quiser, posso detalhar a integração passo a passo.)
- Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para transladar o eixo do centro até o eixo das dobradiças, que está a uma distância
do centro:
- Calculando:
Passo 5
Aplicar conservação de energia e resolver para
.
- Igualando perda de energia potencial com energia cinética rotacional:
- Substituir
e :
- Cancelar
dos dois lados e simplificar:
- Tomando a raiz positiva (velocidade angular escalar):
Passo 6
Comentário final e verificação rápida (intuição).
- Dimensionalmente
tem unidades de , então em está coerente. - Para lados maiores
a velocidade angular final é menor (faz sentido: alçapão maior gira mais devagar sob mesma gravidade).