1. Um alçapão quadrado, de lado a e massa M, está levantado verticalmente, em equilíbrio sobre as dobradiças, quando é levado a cair por uma ligeira trepidação. Desprezando o atrito, que velocidade angular terá adquirido ao bater no chão?

Passo 1

O enunciado dá um alçapão quadrado de lado a e massa M, apoiado nas dobradiças (num dos lados) e mantido vertical. Ele é solto e cai até ficar horizontal, sem atrito. A pergunta é: qual a velocidade angular \omega adquirida no momento em que bate no chão?
Informações relevantes do enunciado:
  • Lado do quadrado: a.
  • Massa do alçapão: M.
  • Sem atrito (energia mecânica conservada).
  • Alçapão parte do repouso na posição vertical e atinge a posição horizontal.
  • Procurar: \omega quando o alçapão chega à posição horizontal.

Passo 2

Estratégia física (conservação de energia mecânica).
  • Como não há atrito, a energia mecânica total se conserva.
  • Inicialmente o alçapão está em repouso, logo sua energia cinética é zero; só tem energia potencial gravitacional.
  • Ao chegar na posição horizontal, parte da energia potencial foi convertida em energia cinética de rotação.
  • Portanto: perda de energia potencial do centro de massa = ganho de energia cinética rotacional.
Escrevendo isso:
M g \Delta h = \tfrac{1}{2} I_{\text{pivô}}\,\omega^2,ô
onde:
  • g é a aceleração da gravidade,
  • \Delta h é a variação (queda) da altura do centro de massa,
  • I_{\text{pivô}}ô é o momento de inércia do quadrado em relação ao eixo das dobradiças,
  • \omega é a velocidade angular final que queremos achar.
Vou agora calcular \Delta h e I_{\text{pivô}}ô.

Passo 3

Cálculo da queda de altura \Delta h do centro de massa.
  • O centro de massa de uma lâmina quadrada uniforme fica no seu centro geométrico, a uma distância r=\tfrac{a}{2} do eixo das dobradiças (eixo passando por um dos lados).
  • Parametrizamos o ângulo \theta do alçapão medido a partir da posição horizontal: \theta=0 quando horizontal, \theta=\tfrac{\pi}{2} quando vertical.
  • A componente vertical da posição do centro de massa relativa ao eixo é h(\theta)=r\sin\theta.
  • Assim, inicialmente (vertical) h_i = r\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=r=\tfrac{a}{2}. Finalmente (horizontal) h_f = r\sin 0 =0.
  • Então a queda de altura é
\Delta h = h_i-h_f=\frac{a}{2}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia em relação ao pivô: I_{\text{pivô}}ô.
  • Primeiro calculamos o momento de inércia em relação ao centro, em um eixo paralelo ao das dobradiças (ou seja, eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado do quadrado). Para uma lâmina retangular uniforme de dimensões a\times a, esse momento (referido ao eixo que atravessa o centro e é paralelo a um lado) é
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12} M a^2.
Explicação rápida deste número: o momento de inércia em relação a um eixo que percorre o centro e é paralelo ao lado corresponde à integral \iint x^2\,dm tomando x a coordenada perpendicular ao eixo; fazendo a integral sobre a área com densidade superficial constante dá \tfrac{1}{12}Ma^2. (Se quiser, posso detalhar a integração passo a passo.)
  • Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para transladar o eixo do centro até o eixo das dobradiças, que está a uma distância d=\tfrac{a}{2} do centro:
I_{\text{pivô}}=I_{\text{cm}}+M d^2 = \frac{1}{12} M a^2 + M\left(\frac{a}{2}\right)^2.ô
  • Calculando:
I_{\text{pivô}}=\frac{1}{12}M a^2 + \frac{1}{4}M a^2 = \left(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\right)M a^2 = \frac{1}{3}M a^2.ô

Passo 5

Aplicar conservação de energia e resolver para \omega.
  • Igualando perda de energia potencial com energia cinética rotacional:
M g \Delta h = \tfrac{1}{2} I_{\text{pivô}}\,\omega^2.ô
  • Substituir \Delta h=\dfrac{a}{2} e I_{\text{pivô}}=\dfrac{1}{3}M a^2ô:
M g \left(\frac{a}{2}\right) = \tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{3}M a^2\right)\omega^2.
  • Cancelar M dos dois lados e simplificar:
g\frac{a}{2} = \frac{1}{6} a^2 \omega^2.
\omega^2 = \frac{g\frac{a}{2}}{\frac{1}{6}a^2} = \frac{g}{a}\cdot\frac{1/2}{1/6} = \frac{g}{a}\cdot 3 = \frac{3g}{a}.
  • Tomando a raiz positiva (velocidade angular escalar):
\omega = \sqrt{\frac{3g}{a}}.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida (intuição).
  • Dimensionalmente \dfrac{g}{a} tem unidades de \text{s}^{-2}, então \omega em \text{s}^{-1} está coerente.
  • Para lados maiores a a velocidade angular final é menor (faz sentido: alçapão maior gira mais devagar sob mesma gravidade).

Resposta

\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3g}{a}}

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