Calcule
A(n)=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}++\frac{1}{n \cdot(n+1)}
para vários valores de n e conjecture uma fórmula para A(n) e a prove usando o método de indução.

Passo 1

O enunciado define
A(n)=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}
e pede para calcular alguns valores de A(n), conjecturar uma fórmula fechada e prová-la por indução. O conteúdo envolve somas telescópicas para identificar o padrão e o método de indução para a prova.

Passo 2

Calculamos alguns valores para ver o padrão:
A(1)=\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2},\quad A(2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3},
A(3)=\frac{2}{3}+\frac{1}{3\cdot4}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4},\quad A(4)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4\cdot5}=\frac{3}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{5}.
Observa-se que A(n) parece ser \tfrac{n}{n+1}.

Passo 3

Conjecturamos que
A(n)=\frac{n}{n+1}.

Passo 4

Prova por indução. Caso base: para n=1,
A(1)=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1},
logo a fórmula vale para n=1.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha
A(k)=\frac{k}{k+1}.
Então
A(k+1)=A(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)} =\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}.
Colocando no mesmo denominador:
A(k+1) =\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} =\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} =\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{k+2}.
Logo a fórmula vale para n=k+1. Pelo princípio da indução, vale para todo n.

Resposta

A(n)=\frac{n}{n+1}.

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