Calcule
para vários valores de
e conjecture uma fórmula para
e a prove usando o método de indução.
Passo 1
O enunciado define
e pede para calcular alguns valores de
, conjecturar uma fórmula fechada e prová-la por indução. O conteúdo envolve somas telescópicas para identificar o padrão e o método de indução para a prova.
Passo 2
Calculamos alguns valores para ver o padrão:
Observa-se que
parece ser
.
Passo 3
Conjecturamos que
Passo 4
Prova por indução. Caso base: para
,
logo a fórmula vale para
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então
Colocando no mesmo denominador:
Logo a fórmula vale para
. Pelo princípio da indução, vale para todo
.