Existe um número real x tal que (3-x)\left(y^{2}+1\right)>0 para todo número real y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um real x tal que
(3 - x)\bigl(y^{2} + 1\bigr) > 0
para todo real y. O conteúdo envolve análise de sinal de um produto.

Passo 2

Observamos que, para todo real y,
y^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} + 1 > 0.
Logo a segunda fator \bigl(y^{2}+1\bigr) é sempre positivo.

Passo 3

Como o produto de dois fatores é positivo sempre que ambos têm o mesmo sinal e já sabemos que y^{2}+1>0, basta exigir
3 - x > 0.

Passo 4

Resolvendo a inequação:
3 - x > 0 \quad\Longrightarrow\quad x < 3.
Portanto qualquer x estritamente menor que 3 faz com que (3-x)(y^{2}+1)>0 para todo y.

Resposta

Existe, sim: todos os x tais que x<3 satisfazem a condição.

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