Calcule \nabla \cdot \mathbf{D} no ponto especificado se (c) \mathbf{D}=2 r \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi \mathbf{a}_{r}+r \cos \theta \operatorname{sen} \varphi \mathbf{a}_{9}+r \cos \varphi \mathbf{a}_{\varphi} em P\left(3,45^{\circ},-45^{\circ}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: calcular \nabla\cdot\mathbf{D} no ponto P\bigl(3,45^\circ,-45^\circ\bigr).
  • Dá o campo vetorial (em coordenadas esféricas, assumidas padrão) \mathbf{D}=2 r \sin\theta \sin\varphi\,\mathbf{a}_r + r \cos\theta \sin\varphi\,\mathbf{a}_\theta + r \cos\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.
  • Informação do ponto (em coordenadas esféricas): r=3, \theta=45^\circ, \varphi=-45^\circ.
Observação de notação: o enunciado trouxe \mathbf{a}_{9} no segundo termo; vou interpretar isso como \mathbf{a}_\theta (erro tipográfico), pois faz sentido com a forma canônica dos componentes esféricos.

Passo 2

Fórmula útil e explicação (aulas curtas sobre o que vou usar).
  • Em coordenadas esféricas padrão (onde \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z e \varphi o ângulo azimutal no plano xy), um campo vetorial tem a forma
    \mathbf{A}=A_r\,\mathbf{a}_r + A_\theta\,\mathbf{a}_\theta + A_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi,
    onde A_r,A_\theta,A_\varphi são as componentes escalares (funções de (r,\theta,\varphi)).
  • A divergência em coordenadas esféricas é dada por
    \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}A_{r}\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
    Explicando cada termo:
    • O fator r^{2} vem do elemento de volume esférico dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
    • O segundo termo divide por r\sin\theta porque as componentes angulares carregam os fatores escala (as direções \theta e \varphi têm “comprimentos” efetivos r e r\sin\theta).
    • Em provas é comum decorar esta fórmula; quando for usar, anote o significado de cada símbolo: r é a coordenada radial, \theta o polar, \varphi o azimutal, e A_r,A_\theta,A_\varphi as componentes no mesmo sistema.

Passo 3

Identificar as componentes do campo \mathbf{D} a partir do enunciado:
  • A_r \equiv D_r = 2 r \sin\theta \sin\varphi,
  • A_\theta \equiv D_\theta = r \cos\theta \sin\varphi,
  • A_\varphi \equiv D_\varphi = r \cos\varphi.
Agora vou substituir essas componentes na fórmula da divergência e calcular termo a termo.

Passo 4

Calcular o primeiro termo
T_1=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}A_{r}\bigr).
  • Primeiro formo r^{2}A_r = r^{2}\cdot(2 r \sin\theta \sin\varphi)=2 r^{3}\sin\theta\sin\varphi.
  • Derivando em relação a r: \frac{\partial}{\partial r}\bigl(2 r^{3}\sin\theta\sin\varphi\bigr)=6 r^{2}\sin\theta\sin\varphi,porque \sin\theta\sin\varphi é tratado como constante em derivação parcial em r.
  • Então T_1=\frac{1}{r^{2}}\cdot 6 r^{2}\sin\theta\sin\varphi = 6\sin\theta\sin\varphi.

Passo 5

Calcular o segundo termo
T_2=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr).
  • Primeiro \sin\theta\,A_\theta = \sin\theta\cdot (r\cos\theta\sin\varphi) = r\sin\varphi\cdot(\sin\theta\cos\theta).
  • Derivando em \theta: \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(r\sin\varphi\sin\theta\cos\theta\bigr) = r\sin\varphi\cdot\frac{d}{d\theta}(\sin\theta\cos\theta).
  • Usar a identidade \frac{d}{d\theta}(\sin\theta\cos\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos 2\theta.
  • Logo \frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,A_\theta)= r\sin\varphi\cos 2\theta.
  • Dividindo pelo fator r\sin\theta: T_2=\frac{1}{r\sin\theta}\cdot r\sin\varphi\cos 2\theta = \sin\varphi\cdot\frac{\cos 2\theta}{\sin\theta}.

Passo 6

Calcular o terceiro termo
T_3=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
  • Temos A_\varphi = r\cos\varphi. Derivando em \varphi: \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}(r\cos\varphi) = -r\sin\varphi.
  • Então T_3=\frac{1}{r\sin\theta}\cdot(-r\sin\varphi) = -\frac{\sin\varphi}{\sin\theta}.

Passo 7

Somar os três termos para obter a divergência geral:
\nabla\cdot\mathbf{D}=T_1+T_2+T_3 =6\sin\theta\sin\varphi + \sin\varphi\cdot\frac{\cos 2\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\varphi}{\sin\theta}.
Coloco os dois últimos termos sobre o mesmo denominador:
\sin\varphi\cdot\frac{\cos 2\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\varphi}{\sin\theta} = \sin\varphi\cdot\frac{\cos 2\theta - 1}{\sin\theta}.
Usando a identidade \cos 2\theta - 1 = -2\sin^{2}\theta, obtemos
\sin\varphi\cdot\frac{\cos 2\theta - 1}{\sin\theta} = \sin\varphi\cdot\frac{-2\sin^{2}\theta}{\sin\theta} = -2\sin\varphi\sin\theta.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{D}=6\sin\theta\sin\varphi - 2\sin\theta\sin\varphi = 4\sin\theta\sin\varphi.
Observação pedagógica: é comum que, em divergências de campos com fatores polinomiais em r, o r cancele e o resultado dependa só dos ângulos — aqui de fato a divergência não depende de r.

Passo 8

Avaliar em P\bigl(3,45^\circ,-45^\circ\bigr).
  • \sin\theta=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • \sin\varphi=\sin(-45^\circ)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Produto: \sin\theta\sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}.
  • Assim \nabla\cdot\mathbf{D}\Big|_{P}=4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2.

Resposta

-2

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