Calcule
no ponto especificado se (c)
em
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: calcular
no ponto . - Dá o campo vetorial (em coordenadas esféricas, assumidas padrão)
- Informação do ponto (em coordenadas esféricas):
, , .
Observação de notação: o enunciado trouxe
no segundo termo; vou interpretar isso como
(erro tipográfico), pois faz sentido com a forma canônica dos componentes esféricos.
Passo 2
Fórmula útil e explicação (aulas curtas sobre o que vou usar).
-
Em coordenadas esféricas padrão (onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo e o ângulo azimutal no plano ), um campo vetorial tem a forma ondesão as componentes escalares (funções de ). -
A divergência em coordenadas esféricas é dada porExplicando cada termo:
- O fator
vem do elemento de volume esférico . - O segundo termo divide por
porque as componentes angulares carregam os fatores escala (as direções e têm “comprimentos” efetivos e ). - Em provas é comum decorar esta fórmula; quando for usar, anote o significado de cada símbolo:
é a coordenada radial, o polar, o azimutal, e as componentes no mesmo sistema.
- O fator
Passo 3
Identificar as componentes do campo
a partir do enunciado:
Agora vou substituir essas componentes na fórmula da divergência e calcular termo a termo.
Passo 4
Calcular o primeiro termo
- Primeiro formo
. - Derivando em relação a
: porque é tratado como constante em derivação parcial em . - Então
Passo 5
Calcular o segundo termo
- Primeiro
- Derivando em
: - Usar a identidade
. - Logo
- Dividindo pelo fator
:
Passo 6
Calcular o terceiro termo
- Temos
. Derivando em : - Então
Passo 7
Somar os três termos para obter a divergência geral:
Coloco os dois últimos termos sobre o mesmo denominador:
Usando a identidade
, obtemos
Portanto
Observação pedagógica: é comum que, em divergências de campos com fatores polinomiais em
, o
cancele e o resultado dependa só dos ângulos — aqui de fato a divergência não depende de
.
Passo 8
Avaliar em
.
-
-
- Produto:
- Assim