Qual a indutância de uma bobina de rádio que possui 300 espiras com um núcleo de fibra de 1 cm de diâmetro e 4 cm de comprimento? Obs.: para a fibra, \mu_{\mathrm{r}} \cong 1.

Passo 1

O enunciado pede a indutância de uma bobina e fornece as seguintes informações:
  • Número de espiras: N=300.
  • Diâmetro do núcleo (diâmetro da bobina): d=1\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento da bobina: l=4\\ \mathrm{cm}.
  • Para a fibra do núcleo vale \mu_{\mathrm{r}}\cong1.
O que se pede: calcular a indutância L da bobina (em henry, \mathrm{H}, ou numa unidade prática como microhenry, \mu\mathrm{H}) usando os dados acima.

Passo 2

Escolher a fórmula apropriada para uma bobina longa (solenoide). Para um solenoide longo e uniformemente enrolado, a indutância aproximada é dada por
L=\mu\,\frac{N^{2}A}{l},
onde:
  • \mu é a permeabilidade magnética do meio no núcleo, \mu=\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}}.
  • \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} é a permeabilidade do vácuo.
  • \mu_{\mathrm{r}} é a permissividade relativa do material do núcleo.
  • N é o número de espiras.
  • A é a área da secção transversal da bobina (em \mathrm{m^{2}}).
  • l é o comprimento efetivo do solenoide (em \mathrm{m}).
Breve explicação da fórmula (intuição passo a passo):
  • O campo magnético dentro de um solenoide longo é \,B=\mu\,\dfrac{N}{l}\,I\,. Aqui \dfrac{N}{l} é o número de espiras por unidade de comprimento e I é a corrente.
  • O fluxo magnético através de uma espira vale \Phi=B\,A.
  • A ligação de fluxo total (fluxo ligado a todas as espiras) é N\Phi.
  • Definição de indutância: L=\dfrac{N\Phi}{I}.
  • Substituindo B e \Phi chega-se a L=\mu\,\dfrac{N^{2}A}{l}.

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades do SI (metros, henry etc.):
  • Diâmetro d=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}. Então o raio é
r=\frac{d}{2}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento l=4\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
  • Número de espiras \,N=300 (já adimensional).
  • Como \mu_{\mathrm{r}}\cong1, temos \mu=\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Calcular a área da secção transversal A (círculo de raio r):
A=\pi r^{2}=\pi\,(0,005)^{2}.
Fazendo a conta:
(0,005)^{2}=25\times10^{-6}=2,5\times10^{-5},
logo
A=\pi\times2,5\times10^{-5}=7,8539816\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Substituir tudo na fórmula L=\mu_{0}\dfrac{N^{2}A}{l} e calcular passo a passo.
Calcular N^{2}:
N^{2}=300^{2}=90\,000.
Calcular \mu_{0}N^{2}:
\mu_{0}N^{2}=(4\pi\times10^{-7})\times90\,000 =0,1130973355\\ \mathrm{H/m}\quad(\text{aprox.}).
Multiplicar por A:
\mu_{0}N^{2}A\approx0,1130973355\times7,8539816\times10^{-5} \approx8,882644\times10^{-6}\\ \mathrm{H}\cdot\mathrm{m}.
Dividir por l:
L=\frac{\mu_{0}N^{2}A}{l}\approx\frac{8,882644\times10^{-6}}{0,04} \approx2,220661\times10^{-4}\\ \mathrm{H}.

Passo 6

Interpretar o resultado em unidades mais usuais (microhenry):
L\approx2,220661\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=222,1\\ \mu\mathrm{H}\quad(\text{aprox.}).
Pequeno comentário motivador: deu um valor da ordem de centenas de microhenry — faz sentido para uma bobina pequena com muitas espiras e núcleo de ar/fibra.

Resposta

\displaystyle L\approx2,22\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=222\\ \mu\mathrm{H}

Exercícios relacionados