Calcule \nabla \cdot \mathbf{D} no ponto especificado se (a) \mathbf{D}=\left(1 / z^{2}\right)\left[10 x y z \mathbf{a}_{x}+5 x^{2} z \mathbf{a}_{y}+\left(2 z^{3}-5 x^{2} y\right) \mathbf{a}_{z}\right] em P(-2,3,5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente de \mathbf{D} no ponto P(-2,3,5). As informações fornecidas são:
  • \mathbf{D}=\left(1 / z^{2}\right)\big[10 x y z\,\mathbf{a}_{x}+5 x^{2} z\,\mathbf{a}_{y}+\left(2 z^{3}-5 x^{2} y\right)\mathbf{a}_{z}\big].
  • O ponto onde devemos avaliar é P com coordenadas x=-2,\;y=3,\;z=5.

Passo 2

Primeiro simplifico os componentes de \mathbf{D} distribuindo o fator 1/z^{2}. Vou escrever cada componente escalar D_x,D_y,D_z explicitamente:
D_x=\frac{1}{z^{2}}\cdot(10xyz)=\frac{10xyz}{z^{2}}=\frac{10xy}{z},
D_y=\frac{1}{z^{2}}\cdot(5x^{2}z)=\frac{5x^{2}z}{z^{2}}=\frac{5x^{2}}{z},
D_z=\frac{1}{z^{2}}\cdot(2z^{3}-5x^{2}y)=\frac{2z^{3}}{z^{2}}-\frac{5x^{2}y}{z^{2}}=2z-\frac{5x^{2}y}{z^{2}}.
Logo
\mathbf{D}=\frac{10xy}{z}\,\mathbf{a}_x+\frac{5x^{2}}{z}\,\mathbf{a}_y+\left(2z-\frac{5x^{2}y}{z^{2}}\right)\mathbf{a}_z.

Passo 3

Relembre a definição do divergente num caso cartesiano: para \mathbf{D}=D_x\mathbf{a}_x+D_y\mathbf{a}_y+D_z\mathbf{a}_z,
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Cada derivada parcial trata as outras variáveis como constantes. Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Calculo \partial D_x/\partial x. Como D_x=\dfrac{10xy}{z}, tratando y e z como constantes:
\frac{\partial D_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{10xy}{z}\right)=\frac{10y}{z}.
Calculo \partial D_y/\partial y. Como D_y=\dfrac{5x^{2}}{z} não depende de y:
\frac{\partial D_y}{\partial y}=0.
Calculo \partial D_z/\partial z. Temos D_z=2z-\dfrac{5x^{2}y}{z^{2}}.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial z}(2z)=2,
e para o segundo termo use a regra da potência: \dfrac{\partial}{\partial z}\!\left(-5x^{2}y\;z^{-2}\right)=-5x^{2}y\cdot(-2)z^{-3}=10x^{2}y\,z^{-3}.
Portanto
\frac{\partial D_z}{\partial z}=2+\frac{10x^{2}y}{z^{3}}.

Passo 5

Agora somo as três derivadas para obter o divergente:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{10y}{z}+0+\left(2+\frac{10x^{2}y}{z^{3}}\right)=2+\frac{10y}{z}+\frac{10x^{2}y}{z^{3}}.

Passo 6

Avalio essa expressão no ponto P(-2,3,5). Substituo x=-2,\;y=3,\;z=5:
Calculo cada parcela:
\frac{10y}{z}=\frac{10\cdot 3}{5}=\frac{30}{5}=6,
\frac{10x^{2}y}{z^{3}}=\frac{10\cdot(-2)^{2}\cdot 3}{5^{3}}=\frac{10\cdot 4\cdot 3}{125}=\frac{120}{125}=\frac{24}{25}.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{D}\Big|_{P}=2+6+\frac{24}{25}=8+\frac{24}{25}=\frac{224}{25}.

Resposta

\dfrac{224}{25}

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