Calcule
\nabla f(4,2) se f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
no ponto (4,2). O conteúdo necessário é derivação parcial e aplicação da regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais de f. Note que podemos escrever
f(x,y) = (x^{2}+y^{2})^{-1}.
Pela regra da cadeia, temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -1\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -1\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y = -\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Agora substituímos x=4 e y=2. Primeiro calcule x^{2}+y^{2}=16+4=20, de modo que (x^{2}+y^{2})^{2}=400. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(4,2) = -\frac{2\cdot 4}{400} = -\frac{8}{400} = -\frac{1}{50},
\frac{\partial f}{\partial y}(4,2) = -\frac{2\cdot 2}{400} = -\frac{4}{400} = -\frac{1}{100}.

Resposta

\nabla f(4,2) = \Bigl(-\tfrac{1}{50},\, -\tfrac{1}{100}\Bigr).

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