Calcule
\nabla f(1,1) se f(x, y)=x^{2}+y^{2}+x y-4 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f em (1,1). O gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Para resolver, vamos calcular essas derivadas e depois substituir x=1 e y=1.

Passo 2

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x}. Como f(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy-4xy^{2}, ao derivar em relação a x tratamos y como constante. A derivada de x^{2} é 2x, de y^{2} é 0, de xy é y e de -4xy^{2} é -4y^{2}. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 4y^{2}.
Substituindo x=1 e y=1 temos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = 2\cdot1 + 1 - 4\cdot1^{2} = -1.

Passo 3

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y}. Ao derivar em relação a y tratamos x como constante. A derivada de x^{2} é 0, de y^{2} é 2y, de xy é x e, em -4xy^{2}, o coeficiente -4x multiplica a derivada de y^{2}, que é 2y, dando -8xy. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + x - 8xy.
Substituindo x=1 e y=1 obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = 2\cdot1 + 1 - 8\cdot1\cdot1 = -5.

Resposta

\nabla f(1,1) = (-1,\,-5)

Exercícios relacionados