Calcule o número de átomos por célula unitária, o número de coordenação e o fator de empacotamento atômico (FEA) para as estruturas CFC e CCC.
Passo 1
O enunciado pede, para as duas estruturas cristalinas CFC e CCC, três informações:
- Calcular o número de átomos por célula unitária.
- Calcular o número de coordenação.
- Calcular o fator de empacotamento atômico (FEA, também chamado de APF).
Informações implícitas que vamos usar (não foi pedido, mas são necessárias para calcular o FEA):
- A célula unitária cúbica tem parâmetro de rede
(comprimento da aresta). - Os átomos são tratados como esferas rígidas de raio
. - Fórmula do volume de uma esfera:
. - Definição do FEA:
.
Passo 2
Vamos começar pela estrutura CFC (cúbica de faces centradas). Primeiro calculamos o número de átomos por célula unitária contando as contribuições parciais dos átomos posicionados na rede:
- Existem
átomos nos vértices da célula. Cada átomo de vértice pertence a células (compartilhado com as células vizinhas), então cada vértice contribui com de um átomo para a célula. - Existem
átomos no centro de cada face. Cada átomo de face é compartilhado por células (duas células adjacentes que dividem a face), então cada átomo de face contribui com .
Somando as contribuições:
Passo 3
Explico didaticamente por que a coordenação na CFC é
. Definição: número de coordenação é o número de átomos mais próximos que tocam (contactam) um átomo dado.
- Em CFC, considere o átomo no centro de uma face; ele toca os quatro átomos dos vértices daquela face e também toca quatro átomos das faces adjacentes no mesmo plano e mais quatro átomos do plano paralelo oposto — totalizando
átomos que tocam um átomo dado. Portanto:
Passo 4
Agora derivamos a relação entre o parâmetro de rede
e o raio atômico
para a CFC (necessária para o FEA).
- Em CFC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face da célula cúbica.
- Comprimento da diagonal da face é
. - Ao longo dessa diagonal, há dois raios de um átomo do vértice até o centro da face e mais dois raios do outro vértice até o centro da face, totalizando
. Logo:
Passo 5
Calculemos o FEA para a CFC usando a definição e as relações anteriores.
- Volume ocupado por todos os átomos na célula:
- Volume da célula unitária:
- Portanto o FEA:
- Valor numérico aproximado:
Passo 6
Agora tratamos da estrutura CCC (cúbica de corpo centrado, BCC em inglês). Primeiro o número de átomos por célula:
- Existem
átomos nos vértices, cada um contribuindo com como antes, totalizando . - Existe
átomo no centro do corpo da célula, esse átomo pertence inteiramente à célula, contribuindo com .
Somando:
Passo 7
Explico didaticamente por que a coordenação na CCC é
.
- Definição: número de átomos que tocam um átomo dado.
- Em CCC, o átomo do centro do corpo toca os
átomos dos vértices da célula cúbica (cada vértice é equidistante do centro). Não há mais átomos tão próximos quanto estes , então:
Passo 8
Derivamos a relação entre
e
para a CCC (necessária para o FEA).
- Na CCC, os átomos do centro e dos vértices tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo.
- Comprimento da diagonal do corpo é
. - Ao longo dessa diagonal há, do vértice ao vértice passando pelo átomo central, duas distâncias de contato correspondentes a
(o diâmetro do átomo central mais dois semiespaços), portanto:
Passo 9
Calculemos o FEA para a CCC.
- Volume ocupado por todos os átomos na célula:
- Volume da célula:
(Explicando a potência:
.)
- Portanto o FEA:
- Valor numérico aproximado:
Passo 10
Resumo pedagógico rápido para decorar (útil na prova):
- Contagem de átomos por célula: somar as contribuições parciais (vértices
, arestas se houver, faces , corpo inteiro ). - Coordenação: contar quantos vizinhos de contato imediato tem um átomo (no centro da face para CFC dá 12; no centro do corpo para CCC dá 8).
- FEA: usar a relação geométrica
vs apropriada ( para CFC; para CCC), calcular volume ocupado e dividir por .
Resposta
CFC: número de átomos por célula unitária =
; número de coordenação =
; FEA =
.
CCC: número de átomos por célula unitária =
; número de coordenação =
; FEA =
.