Calcule o número de átomos por célula unitária, o número de coordenação e o fator de empacotamento atômico (FEA) para as estruturas CFC e CCC.

Passo 1

O enunciado pede, para as duas estruturas cristalinas CFC e CCC, três informações:
  • Calcular o número de átomos por célula unitária.
  • Calcular o número de coordenação.
  • Calcular o fator de empacotamento atômico (FEA, também chamado de APF).
Informações implícitas que vamos usar (não foi pedido, mas são necessárias para calcular o FEA):
  • A célula unitária cúbica tem parâmetro de rede a (comprimento da aresta).
  • Os átomos são tratados como esferas rígidas de raio r.
  • Fórmula do volume de uma esfera: \displaystyle V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}á.
  • Definição do FEA: \displaystyle \text{FEA}=\frac{\text{volume total ocupado por átomos na célula}}{\text{volume da célula}}=\frac{N_{\text{átomos}}\cdot V_{\text{átomo}}}{a^{3}}áééáá.

Passo 2

Vamos começar pela estrutura CFC (cúbica de faces centradas). Primeiro calculamos o número de átomos por célula unitária contando as contribuições parciais dos átomos posicionados na rede:
  • Existem 8 átomos nos vértices da célula. Cada átomo de vértice pertence a 8 células (compartilhado com as células vizinhas), então cada vértice contribui com \tfrac{1}{8} de um átomo para a célula.
  • Existem 6 átomos no centro de cada face. Cada átomo de face é compartilhado por 2 células (duas células adjacentes que dividem a face), então cada átomo de face contribui com \tfrac{1}{2}.
    Somando as contribuições:
N_{\text{CFC}}=8\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{1}{2}=1+3=4.

Passo 3

Explico didaticamente por que a coordenação na CFC é 12. Definição: número de coordenação é o número de átomos mais próximos que tocam (contactam) um átomo dado.
  • Em CFC, considere o átomo no centro de uma face; ele toca os quatro átomos dos vértices daquela face e também toca quatro átomos das faces adjacentes no mesmo plano e mais quatro átomos do plano paralelo oposto — totalizando 12 átomos que tocam um átomo dado. Portanto:
\text{coordenação}_{\text{CFC}}=12.çã

Passo 4

Agora derivamos a relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r para a CFC (necessária para o FEA).
  • Em CFC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face da célula cúbica.
  • Comprimento da diagonal da face é \sqrt{2}\,a.
  • Ao longo dessa diagonal, há dois raios de um átomo do vértice até o centro da face e mais dois raios do outro vértice até o centro da face, totalizando 4r. Logo:
\sqrt{2}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.

Passo 5

Calculemos o FEA para a CFC usando a definição e as relações anteriores.
  • Volume ocupado por todos os átomos na célula:
V_{\text{ocupado}}=N_{\text{CFC}}\cdot V_{\text{átomo}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da célula unitária:
V_{\text{célula}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.é
  • Portanto o FEA:
\text{FEA}_{\text{CFC}}=\frac{V_{\text{ocupado}}}{V_{\text{célula}}}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.é
  • Valor numérico aproximado:
\text{FEA}_{\text{CFC}}\approx\frac{3{,}1416}{3\cdot1{,}4142}\approx0{,}74048\quad(\text{ou }74{,}05\%).

Passo 6

Agora tratamos da estrutura CCC (cúbica de corpo centrado, BCC em inglês). Primeiro o número de átomos por célula:
  • Existem 8 átomos nos vértices, cada um contribuindo com \tfrac{1}{8} como antes, totalizando 1.
  • Existe 1 átomo no centro do corpo da célula, esse átomo pertence inteiramente à célula, contribuindo com 1.
    Somando:
N_{\text{CCC}}=8\cdot\frac{1}{8}+1=1+1=2.

Passo 7

Explico didaticamente por que a coordenação na CCC é 8.
  • Definição: número de átomos que tocam um átomo dado.
  • Em CCC, o átomo do centro do corpo toca os 8 átomos dos vértices da célula cúbica (cada vértice é equidistante do centro). Não há mais átomos tão próximos quanto estes 8, então:
\text{coordenação}_{\text{CCC}}=8.çã

Passo 8

Derivamos a relação entre a e r para a CCC (necessária para o FEA).
  • Na CCC, os átomos do centro e dos vértices tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo.
  • Comprimento da diagonal do corpo é \sqrt{3}\,a.
  • Ao longo dessa diagonal há, do vértice ao vértice passando pelo átomo central, duas distâncias de contato correspondentes a 4r (o diâmetro do átomo central mais dois semiespaços), portanto:
\sqrt{3}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.

Passo 9

Calculemos o FEA para a CCC.
  • Volume ocupado por todos os átomos na célula:
V_{\text{ocupado}}=N_{\text{CCC}}\cdot V_{\text{átomo}}=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{8}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da célula:
V_{\text{célula}}=a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64}{3\sqrt{3}}\,r^{3}.é
(Explicando a potência: \left(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\dfrac{64}{(\sqrt{3})^{3}}=\dfrac{64}{3\sqrt{3}}.)
  • Portanto o FEA:
\text{FEA}_{\text{CCC}}=\frac{V_{\text{ocupado}}}{V_{\text{célula}}}=\frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}}\,r^{3}}=\frac{8\pi}{64}\sqrt{3}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.é
  • Valor numérico aproximado:
\text{FEA}_{\text{CCC}}\approx\frac{3{,}1416\cdot1{,}73205}{8}\approx0{,}68017\quad(\text{ou }68{,}02\%).

Passo 10

Resumo pedagógico rápido para decorar (útil na prova):
  • Contagem de átomos por célula: somar as contribuições parciais (vértices 1/8, arestas 1/4 se houver, faces 1/2, corpo inteiro 1).
  • Coordenação: contar quantos vizinhos de contato imediato tem um átomo (no centro da face para CFC dá 12; no centro do corpo para CCC dá 8).
  • FEA: usar a relação geométrica a vs r apropriada ( a=2\sqrt{2}r para CFC; a=4r/\sqrt{3} para CCC), calcular volume ocupado =N\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} e dividir por a^{3}.

Resposta

CFC: número de átomos por célula unitária = 4; número de coordenação = 12; FEA = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx0{,}74048.
CCC: número de átomos por célula unitária = 2; número de coordenação = 8; FEA = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0{,}68017.

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