Sabendo que o Pb cristaliza no sistema CFC , calcule o parâmetro de rede para o Pb e o seu raio atômico. Dados: A =207 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \rho=11,34 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede:
    • Calcular o parâmetro de rede a do chumbo ( \mathrm{Pb}) sabendo que cristaliza no sistema cúbico de face centrada (CFC).
    • Calcular o raio atômico R correspondente.
  • Dados fornecidos:
    • Massa molar A = 207\\ \mathrm{g/mol}. Vou usar este valor como M=207\\ \mathrm{g/mol}.
    • Densidade \rho = 11,34 (o enunciado escreveu \mathrm{g/mol} mas isso parece um erro de unidade). A densidade de um metal é tipicamente dada em \mathrm{g/cm^{3}}. Vou assumir \rho = 11,34\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Se a intenção fosse outra, não é possível resolver sem a unidade correta, mas essa é a interpretação física correta.
    • Número de Avogadro N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} (constante que vamos usar).
O enunciado pede duas quantidades numéricas finais: a e R.

Passo 2

Entendendo a estrutura CFC e quantos átomos há por cela unitária.
  • No empacotamento cúbico de faces centradas (CFC, ou FCC em inglês) a cela unitária cúbica tem:
    • 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 celas → contribuição total 8\times\frac{1}{8}=1 átomo;
    • 6 átomos nas faces, cada um compartilhado por 2 celas → contribuição total 6\times\frac{1}{2}=3 átomos.
  • Portanto o número de átomos por cela unitária é n = 1 + 3 = 4.
Vou usar n=4 na fórmula da densidade.

Passo 3

Deduzindo a relação entre densidade, massa molar e parâmetro da rede.
  • A densidade macroscópica de um cristal pode ser escrita como massa por volume de uma cela unitária. A massa de n átomos é n vezes a massa por átomo; a massa por átomo é a massa molar dividida por N_A. Assim: \rho = \frac{\text{massa da cela}}{\text{volume da cela}} = \frac{n\cdot (M/N_A)}{a^3}.
  • Reorganizando para achar a: \rho = \frac{n M}{N_A a^3} \quad\Rightarrow\quad a^3 = \frac{n M}{\rho N_A}.
  • Aqui:
    • n é o número de átomos por cela (adimensional);
    • M é a massa molar em \mathrm{g/mol};
    • \rho é a densidade em \mathrm{g/cm^{3}};
    • N_A é o número de Avogadro em \mathrm{mol^{-1}};
    • a será obtido em \mathrm{cm} se usarmos essas unidades.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos para calcular a^3.
  • Primeiro calcule nM: nM = 4 \times 207 = 828\\ \mathrm{g/mol}.
  • Depois calcule \rho N_A: \rho N_A = 11,34 \times 6,022\times10^{23} = 6,828948\times10^{24}.(a unidade é \mathrm{g/cm^{3}}\times\mathrm{mol^{-1}}=\mathrm{g/(cm^{3}\cdot mol)}\times\mathrm{mol^{-1}}, que ao combinar com M dá corretamente \mathrm{g/cm^{3}} no denominador do quociente).
  • Agora a^3 = \frac{828}{6,828948\times10^{24}} \\ \mathrm{cm^3} = 1,2125\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^3}.
Expliquei os passos para que você possa reproduzir: multiplicação do numerador, multiplicação do denominador e divisão simples. Tudo usando unidades compatíveis ( \mathrm{g}, \mathrm{mol}, \mathrm{cm}).

Passo 5

Calculando a (parâmetro de rede) a partir de a^3.
  • Tomando a raiz cúbica: a = \left(1,2125\times10^{-22}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}.
  • É útil decompor em mantissa e potência de 10: a = (1,2125)^{1/3}\times10^{-22/3}\\ \mathrm{cm}.
    • (1,2125)^{1/3}\approx 1,066.
    • 10^{-22/3}=10^{-7,333\ldots}=4,6416\times10^{-8}.
    • Multiplicando: a \approx 1,066\times4,6416\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\approx 4,949\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • Converter para unidades mais usuais (ångström): 1\\ \text{\AA} = 10^{-8}\\ \mathrm{cm},portanto a \approx 4,949\\ \text{\AA} \approx 4,95\\ \text{\AA}.
Dica prática: em provas, normalmente basta lembrar da fórmula \rho = nM/(N_A a^3) e fazer as contas com atenção às potências de 10; aqui obtivemos a\approx 4,95\\ \text{\AA}.

Passo 6

Calculando o raio atômico R no empacotamento CFC.
  • Geometria: nos cristais CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face. O comprimento da diagonal da face é \sqrt{2}\,a. Ao longo dessa diagonal há 4 raios atômicos (do primeiro canto até o átomo de face, depois até o outro canto), então \sqrt{2}\,a = 4R.
  • Assim R = \frac{\sqrt{2}\,a}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}.
  • Substituindo a \approx 4,949\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} ou a\approx 4,949\\ \text{\AA}: R \approx \frac{4,949\\ \text{\AA}}{2\sqrt{2}} \approx 1,7496\\ \text{\AA} \approx 1,75\\ \text{\AA}.
  • Em unidades de picómetros ( 1\\ \text{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}=10^{-2}\\ \text{\AA}): R \approx 175\\ \text{pm}.

Passo 7

Resumo final e pequena motivação.
  • Obtivemos um parâmetro de rede na faixa de 5\\ \text{\AA} e um raio atômico da ordem de 1{,}75\\ \text{\AA}, valores condizentes com dados tabulados para metais pesados como o chumbo — isso é um bom sinal de que o procedimento e as contas estão corretos.
  • Força aí! Essa é a técnica que costuma cair em provas: identificar n, usar \rho = nM/(N_A a^3), calcular a e então usar a geometria da cela para achar R.

Resposta

a = 4,95\\ \text{\AA}
R = 1,75\\ \text{\AA} = 175\\ \text{pm}

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