Sabendo que o Pb cristaliza no sistema CFC , calcule o parâmetro de rede para o Pb e o seu raio atômico. Dados: A
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
-
O enunciado pede:
- Calcular o parâmetro de rede
do chumbo ( ) sabendo que cristaliza no sistema cúbico de face centrada (CFC). - Calcular o raio atômico
correspondente.
- Calcular o parâmetro de rede
-
Dados fornecidos:
- Massa molar
. Vou usar este valor como . - Densidade
(o enunciado escreveu mas isso parece um erro de unidade). A densidade de um metal é tipicamente dada em . Vou assumir . Se a intenção fosse outra, não é possível resolver sem a unidade correta, mas essa é a interpretação física correta. - Número de Avogadro
(constante que vamos usar).
- Massa molar
O enunciado pede duas quantidades numéricas finais:
e
.
Passo 2
Entendendo a estrutura CFC e quantos átomos há por cela unitária.
- No empacotamento cúbico de faces centradas (CFC, ou FCC em inglês) a cela unitária cúbica tem:
- 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 celas → contribuição total
átomo; - 6 átomos nas faces, cada um compartilhado por 2 celas → contribuição total
átomos.
- 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 celas → contribuição total
- Portanto o número de átomos por cela unitária é
Vou usar
na fórmula da densidade.
Passo 3
Deduzindo a relação entre densidade, massa molar e parâmetro da rede.
- A densidade macroscópica de um cristal pode ser escrita como massa por volume de uma cela unitária. A massa de
átomos é vezes a massa por átomo; a massa por átomo é a massa molar dividida por . Assim: - Reorganizando para achar
: - Aqui:
-
é o número de átomos por cela (adimensional); -
é a massa molar em ; -
é a densidade em ; -
é o número de Avogadro em ; -
será obtido em se usarmos essas unidades.
-
Passo 4
Substituindo os valores numéricos para calcular
.
- Primeiro calcule
: - Depois calcule
: (a unidade é , que ao combinar com dá corretamente no denominador do quociente). - Agora
Expliquei os passos para que você possa reproduzir: multiplicação do numerador, multiplicação do denominador e divisão simples. Tudo usando unidades compatíveis (
,
,
).
Passo 5
Calculando
(parâmetro de rede) a partir de
.
- Tomando a raiz cúbica:
- É útil decompor em mantissa e potência de 10:
-
. -
. - Multiplicando:
-
- Converter para unidades mais usuais (ångström):
portanto
Dica prática: em provas, normalmente basta lembrar da fórmula
e fazer as contas com atenção às potências de 10; aqui obtivemos
.
Passo 6
Calculando o raio atômico
no empacotamento CFC.
- Geometria: nos cristais CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face. O comprimento da diagonal da face é
. Ao longo dessa diagonal há 4 raios atômicos (do primeiro canto até o átomo de face, depois até o outro canto), então - Assim
- Substituindo
ou : - Em unidades de picómetros (
):
Passo 7
Resumo final e pequena motivação.
- Obtivemos um parâmetro de rede na faixa de
e um raio atômico da ordem de , valores condizentes com dados tabulados para metais pesados como o chumbo — isso é um bom sinal de que o procedimento e as contas estão corretos. - Força aí! Essa é a técnica que costuma cair em provas: identificar
, usar , calcular e então usar a geometria da cela para achar .