Calcule o número de lacunas por metro cúbico no ferro a 1000^{\circ} \mathrm{C}. A energia para a formação de lacunas é de 1,08 \mathrm{eV} / átomo. A massa específica e o peso atômico para o Fe são de 7,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 55,85 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, respectivamente. Repita o cálculo para a Temperatura de 1100^{\circ} \mathrm{C}. Qual a influencia do aumento da temperatura na formação das lacunas?

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pedido: calcular o número de lacunas (vacâncias) por metro cúbico no ferro a 1000^\circ\mathrm{C} e a 1100^\circ\mathrm{C}. Depois, comentar a influência do aumento de temperatura.
  • Dados fornecidos:
    • Energia de formação de lacuna: E_f = 1,08\\ \mathrm{eV/átomo}á.
    • Massa específica (densidade) do Fe: \rho = 7,65\\ \mathrm{g/cm}^3.
    • Peso atômico (massa molar) do Fe: M = 55,85\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constantes que usarei (valores padrão):
    • Número de Avogadro: N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
    • Constante de Boltzmann (em eV/K): k_B = 8,617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • Observação importante: vou usar a expressão de equilíbrio para a concentração de lacunas \displaystyle \frac{n_v}{N} = \exp\!\big(-\tfrac{E_f}{k_B T}\big), onde N é o número total de sítios atômicos (átomos) por metro cúbico e n_v é o número de lacunas em equilíbrio por metro cúbico. No Passo 2 eu explico essa fórmula.

Passo 2

Explicação da fórmula usada e o significado de cada termo.
  • Física por trás (de forma simples): a criação de uma lacuna tem um custo energético E_f. Em equilíbrio térmico, a probabilidade de um sítio estar como lacuna é proporcional a um fator de Boltzmann \exp(-E_f/(k_B T)). Portanto a fração de sítios que são lacunas em equilíbrio é \frac{n_v}{N}=\exp\!\bigg(-\frac{E_f}{k_B T}\bigg).
  • Significado das variáveis:
    • n_v: número de lacunas (vacâncias) por unidade de volume (aqui por \mathrm{m}^3).
    • N: número total de sítios atômicos por \mathrm{m}^3 (igual ao número de átomos por \mathrm{m}^3 num cristal perfeito).
    • E_f: energia de formação de uma lacuna por átomo (aqui em \mathrm{eV}).
    • k_B: constante de Boltzmann (em \mathrm{eV/K} quando E_f está em eV).
    • T: temperatura em \mathrm{K}.
  • Da fórmula segue: n_v = N\\ \exp\!\bigg(-\frac{E_f}{k_B T}\bigg).
  • Próximo passo: calcular N (átomos por \mathrm{m}^3), depois aplicar a expressão para as duas temperaturas.

Passo 3

Cálculo do número de átomos por metro cúbico N.
  • Converter unidades dadas para \mathrm{kg/m}^3 e \mathrm{kg/mol}: \rho = 7,65\\ \mathrm{g/cm}^3 = 7,65\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m}^3,
M = 55,85\\ \mathrm{g/mol} = 55,85\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Fórmula para o número de átomos por \mathrm{m}^3: N = \frac{\rho}{M}\,N_A.
  • Substituindo os números: N = \frac{7,65\times10^{3}}{55,85\times10^{-3}}\times 6,022\times10^{23}.
  • Calcular a razão massa/masa molar: \frac{7,65\times10^{3}}{55,85\times10^{-3}}=\frac{7{,}650}{0{,}05585}\approx 136\,986.
  • Multiplicando por N_A: N \approx 136\,986\times 6,022\times10^{23}\approx 8{,}25\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á
  • Interpretação: isso faz sentido (metais típicos têm densidade atômica da ordem de 10^{28} átomos/m ^3).

Passo 4

Cálculo da fração de lacunas e número de lacunas a 1000^\circ\mathrm{C}.
  • Converter temperatura para Kelvin: T_{1000} = 1000^\circ\mathrm{C} = 1000 + 273{,}15 = 1\,273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o denominador k_B T (em eV): k_B T_{1000} = 8{,}617\times10^{-5}\times 1\,273{,}15 \approx 0{,}1097\\ \mathrm{eV}.(mostrei a unidade e usei k_B em eV/K para manter E_f em eV).
  • Calcular o expoente: \frac{E_f}{k_B T_{1000}} = \frac{1{,}08}{0{,}1097}\approx 9{,}847.
  • Fração de sítios que são lacunas: \frac{n_v}{N}=\exp(-9{,}847)\approx 5{,}29\times10^{-5}.
  • Número de lacunas por \mathrm{m}^3: n_v = N\cdot\frac{n_v}{N}\approx 8{,}25\times10^{28}\times 5{,}29\times10^{-5}\approx 4{,}36\times10^{24}\\ \text{lacunas/m}^3.

Passo 5

Cálculo da fração de lacunas e número de lacunas a 1100^\circ\mathrm{C}.
  • Converter temperatura para Kelvin: T_{1100} = 1100^\circ\mathrm{C} = 1100 + 273{,}15 = 1\,373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular k_B T_{1100}: k_B T_{1100} = 8{,}617\times10^{-5}\times 1\,373{,}15 \approx 0{,}1183\\ \mathrm{eV}.
  • Expoente: \frac{E_f}{k_B T_{1100}} = \frac{1{,}08}{0{,}1183}\approx 9{,}123.
  • Fração de sítios que são lacunas: \frac{n_v}{N}=\exp(-9{,}123)\approx 1{,}095\times10^{-4}.
  • Número de lacunas por \mathrm{m}^3: n_v = N\cdot\frac{n_v}{N}\approx 8{,}25\times10^{28}\times 1{,}095\times10^{-4}\approx 9{,}03\times10^{24}\\ \text{lacunas/m}^3.

Passo 6

Interpretação física do efeito da variação de temperatura.
  • Comparação numérica: ao aumentar de 1000^\circ\mathrm{C} para 1100^\circ\mathrm{C} o número de lacunas passa de \approx 4{,}36\times10^{24} para \approx 9{,}03\times10^{24}\\ \text{lacunas/m}^3, ou seja aumenta por um fator \frac{9{,}03\times10^{24}}{4{,}36\times10^{24}}\approx 2{,}07.
  • Explicação: a concentração de lacunas cresce exponencialmente com a temperatura segundo o fator \exp(-E_f/(k_B T)). Assim, mesmo um aumento de temperatura relativamente pequeno (aqui 100^\circ\mathrm{C} \approx 100\\ \mathrm{K}) pode dobrar a concentração de lacunas quando a energia de formação não é muito grande comparada a k_B T. Em palavras leves: mais temperatura significa mais “energia disponível” para gerar lacunas, e por causa do comportamento exponencial esse aumento pode ser rápido.
  • Observação prática: calculei a fração apenas com o termo exponencial \exp(-E_f/(k_B T)). Em tratamentos mais completos pode aparecer um fator pré-exponencial que inclui entropia de formação; isso muda pouco a ordem de grandeza, mas a dependência exponencial em T continua sendo dominante.

Resposta

1000^\circ\mathrm{C}:\;4{,}36\times10^{24}\\ \text{lacunas/m}^3
1100^\circ\mathrm{C}:\;9{,}03\times10^{24}\\ \text{lacunas/m}^3

Exercícios relacionados