Calcule o número de lacunas por metro cúbico no ferro a
. A energia para a formação de lacunas é de
átomo. A massa específica e o peso atômico para o Fe são de
e
, respectivamente. Repita o cálculo para a Temperatura de
. Qual a influencia do aumento da temperatura na formação das lacunas?
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
- Pedido: calcular o número de lacunas (vacâncias) por metro cúbico no ferro a
e a . Depois, comentar a influência do aumento de temperatura. - Dados fornecidos:
- Energia de formação de lacuna:
. - Massa específica (densidade) do Fe:
. - Peso atômico (massa molar) do Fe:
.
- Energia de formação de lacuna:
- Constantes que usarei (valores padrão):
- Número de Avogadro:
. - Constante de Boltzmann (em eV/K):
.
- Número de Avogadro:
- Observação importante: vou usar a expressão de equilíbrio para a concentração de lacunas
, onde é o número total de sítios atômicos (átomos) por metro cúbico e é o número de lacunas em equilíbrio por metro cúbico. No Passo 2 eu explico essa fórmula.
Passo 2
Explicação da fórmula usada e o significado de cada termo.
- Física por trás (de forma simples): a criação de uma lacuna tem um custo energético
. Em equilíbrio térmico, a probabilidade de um sítio estar como lacuna é proporcional a um fator de Boltzmann . Portanto a fração de sítios que são lacunas em equilíbrio é - Significado das variáveis:
-
: número de lacunas (vacâncias) por unidade de volume (aqui por ). -
: número total de sítios atômicos por (igual ao número de átomos por num cristal perfeito). -
: energia de formação de uma lacuna por átomo (aqui em ). -
: constante de Boltzmann (em quando está em eV). -
: temperatura em .
-
- Da fórmula segue:
- Próximo passo: calcular
(átomos por ), depois aplicar a expressão para as duas temperaturas.
Passo 3
Cálculo do número de átomos por metro cúbico
.
- Converter unidades dadas para
e :
- Fórmula para o número de átomos por
: - Substituindo os números:
- Calcular a razão massa/masa molar:
- Multiplicando por
: - Interpretação: isso faz sentido (metais típicos têm densidade atômica da ordem de
átomos/m ).
Passo 4
Cálculo da fração de lacunas e número de lacunas a
.
- Converter temperatura para Kelvin:
- Calcular o denominador
(em eV): (mostrei a unidade e usei em eV/K para manter em eV). - Calcular o expoente:
- Fração de sítios que são lacunas:
- Número de lacunas por
:
Passo 5
Cálculo da fração de lacunas e número de lacunas a
.
- Converter temperatura para Kelvin:
- Calcular
: - Expoente:
- Fração de sítios que são lacunas:
- Número de lacunas por
:
Passo 6
Interpretação física do efeito da variação de temperatura.
- Comparação numérica: ao aumentar de
para o número de lacunas passa de para , ou seja aumenta por um fator - Explicação: a concentração de lacunas cresce exponencialmente com a temperatura segundo o fator
. Assim, mesmo um aumento de temperatura relativamente pequeno (aqui ) pode dobrar a concentração de lacunas quando a energia de formação não é muito grande comparada a . Em palavras leves: mais temperatura significa mais “energia disponível” para gerar lacunas, e por causa do comportamento exponencial esse aumento pode ser rápido. - Observação prática: calculei a fração apenas com o termo exponencial
. Em tratamentos mais completos pode aparecer um fator pré-exponencial que inclui entropia de formação; isso muda pouco a ordem de grandeza, mas a dependência exponencial em continua sendo dominante.