Calcule o número de átomos por metro cúbico para o Chumbo, Ferro e Cobre (para a massa especifica consulte a internet e o peso atômico a tabela periódica).

Passo 1

O que o problema pede: calcular o número de átomos por metro cúbico para o Chumbo, Ferro e Cobre.\n
Informações que vou usar (consultadas em tabelas padrão / internet):\n
  • Densidades (massa específica) em \text{g}/\text{cm}^3: Chumbo \rho_{\text{Pb}}=11,34, Ferro \rho_{\text{Fe}}=7,874, Cobre \rho_{\text{Cu}}=8,96. (Valores típicos de tabelas de materiais.)\n
  • Pesos atômicos (massa molar) em \text{g}/\text{mol}: Chumbo A_{\text{Pb}}=207,2, Ferro A_{\text{Fe}}=55,85, Cobre A_{\text{Cu}}=63,546. (Valores da tabela periódica.)\n
  • Constante de Avogadro: N_A=6,02214076\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.\n
    Obs.: usei os valores padronizados acima; caso sua tabela dê valores ligeiramente diferentes, o procedimento é o mesmo e o resultado muda pouco.

Passo 2

Idéia e fórmula geral (explicação didática):\n
  • Queremos o número de átomos por \text{m}^3. Uma maneira simples é primeiro encontrar o número de mols por unidade de volume e multiplicar por N_A.\n
  • Se a densidade está em \text{g}/\text{cm}^3 e a massa molar em \text{g}/\text{mol}, então o número de mols por \text{cm}^3 é \dfrac{\rho\\ (\text{g}/\text{cm}^3)}{A\\ (\text{g}/\text{mol})}. Multiplicando por N_A dá átomos por \text{cm}^3.\n
  • Para passar a átomos por \text{m}^3 lembramos que 1\\ \text{cm}^3=10^{-6}\\ \text{m}^3, logo multiplica-se por 10^{6} para converter de \text{cm}^{-3} para \text{m}^{-3}.\n
    Fórmula final que usarei (toda em LaTeX):
n\\ (\text{átomos}/\text{m}^3)=\left(\dfrac{\rho\\ (\text{g}/\text{cm}^3)}{A\\ (\text{g}/\text{mol})}\right)\times N_A\\ \times 10^{6}.á
Aqui: \rho é a densidade do metal em \text{g}/\text{cm}^3, A é a massa molar em \text{g}/\text{mol}, e N_A é a constante de Avogadro.

Passo 3

Cálculo para o Chumbo ( \text{Pb}) passo a passo:\n
Substituindo na fórmula os valores para o chumbo:
\rho_{\text{Pb}}=11,34,\qquad A_{\text{Pb}}=207,2.
Número de átomos por \text{m}^3:
n_{\text{Pb}}=\left(\dfrac{11,34}{207,2}\right)\times 6,02214076\times10^{23}\times10^{6}.
Faço primeiro a razão:
\dfrac{11,34}{207,2}=0,054744\\ \text{(aprox.)}.
Multiplicando por N_A:
0,054744\times6,02214076\times10^{23}=3,296884\times10^{22}\\ \text{átomos/cm}^3.á
Convertendo para \text{m}^3 (multiplica por 10^{6}):
n_{\text{Pb}}=3,296884\times10^{22}\times10^{6}=3,296884\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á
Arredondando com 3 algarismos significativos:
n_{\text{Pb}}\approx 3,30\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á

Passo 4

Cálculo para o Ferro ( \text{Fe}) passo a passo:\n
Valores:
\rho_{\text{Fe}}=7,874,\qquad A_{\text{Fe}}=55,85.
Substituindo:
n_{\text{Fe}}=\left(\dfrac{7,874}{55,85}\right)\times6,02214076\times10^{23}\times10^{6}.
Razão:
\dfrac{7,874}{55,85}=0,14099\\ \text{(aprox.)}.
Multiplicando por N_A:
0,14099\times6,02214076\times10^{23}=8,496\times10^{22}\\ \text{átomos/cm}^3.á
Converter para \text{m}^3:
n_{\text{Fe}}=8,496\times10^{22}\times10^{6}=8,496\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á
Arredondando:
n_{\text{Fe}}\approx 8,50\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á

Passo 5

Cálculo para o Cobre ( \text{Cu}) passo a passo:\n
Valores:
\rho_{\text{Cu}}=8,96,\qquad A_{\text{Cu}}=63,546.
Substituindo:
n_{\text{Cu}}=\left(\dfrac{8,96}{63,546}\right)\times6,02214076\times10^{23}\times10^{6}.
Razão:
\dfrac{8,96}{63,546}=0,1410\\ \text{(aprox.)}.
Multiplicando por N_A:
0,1410\times6,02214076\times10^{23}=8,497\times10^{22}\\ \text{átomos/cm}^3.á
Converter para \text{m}^3:
n_{\text{Cu}}=8,497\times10^{22}\times10^{6}=8,497\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á
Arredondando:
n_{\text{Cu}}\approx 8,50\times10^{28}\\ \text{átomos/m}^3.á

Passo 6

Resumo rápido e interpretação (para te dar confiança):\n
  • Os números mostram que Ferro e Cobre têm números de átomos por volume bem parecidos (por causa da relação densidade/masa molar), enquanto o Chumbo, sendo muito mais pesado por átomo (massa atômica alta), tem menos átomos por volume apesar de ser denso.\n
  • Se na prova a tabela der valores ligeiramente diferentes para densidade ou massa atômica, basta refazer a mesma conta (mesma fórmula) com os valores da sua tabela.

Resposta

Chumbo: 3,30\times10^{28} átomos/m ^3\n
Ferro: 8,50\times10^{28} átomos/m ^3\n
Cobre: 8,50\times10^{28} átomos/m ^3

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