P12.26 Determine a inclinação na extremidade B e a deflexão máxima da chapa triangular de espessura constante t em balanço. A chapa é feita de material com módulo de elasticidade E.
Passo 1
O problema (imagem usada para extrair os dados geométricos) descreve uma chapa triangular em balanço de comprimento L, espessura constante t e módulo de elasticidade E. A largura na raiz (extremidade presa) é b e a chapa afila até largura zero na extremidade livre B. Há uma carga distribuída vertical para baixo com intensidade uniforme w por unidade de área sobre a superfície da chapa. A coordenada x está indicada na figura partindo da extremidade livre B em direção à raiz (ou seja, x=0 em B e x=L na raiz).
Perguntas: determinar (1) a inclinação (ângulo/taxa de variação da deflexão) na extremidade B e (2) a deflexão máxima da chapa.
Informações relevantes extraídas da figura e do enunciado:
\begin{aligned} &\text{comprimento: } L,\\\ &\text{largura na raiz: } b,\quad\text{largura na ponta: }0,\\\ &\text{espessura: } t,\\\ &\text{módulo de elasticidade: } E,\\\ &\text{carga por área: } w,\\\ &\text{coordenada: } x\text{ medida de }B\text{ para a raiz (}0\le x\le L\text{).} \end{aligned}
Passo 2
Expressar a largura variável b(x) e a carga por unidade de comprimento q(x) usada na teoria de vigas.
A largura varia linearmente de 0 em x=0 até b em x=L, logo
b(x)=\frac{b}{L}\,x.
A carga w é dada por unidade de área; a carga resultante por unidade de comprimento (ao longo da direção da viga) é
q(x)=w\;b(x)=w\frac{b}{L}x.
Explicação didática: multiplicamos a intensidade por área w pela largura local b(x) para obter a carga ao longo da linha (unidade: força por comprimento), que é a entrada correta para as fórmulas de vigas.
Passo 3
Determinar o momento fletor M(x) em uma seção localizada a uma distância x da ponta livre (isto é, devido às cargas entre 0 e x).
Para uma viga em balanço a partir da ponta livre, o momento em x causado pela carga distribuída q(s) (com s variável de 0 a x) é
Comentário: o momento depende só da distribuição de cargas, não da rigidez.]
Passo 4
Determinar o momento de inércia da seção I(x) (seção retangular de largura b(x) e espessura t) usado no raio de curvatura.
Para uma seção retangular com base b(x) (na direção lateral) e altura (espessura) t (a espessura é a dimensão que contribui com t^3 no momento de inércia quando a flexão é no plano da chapa), o momento de inércia em torno do eixo neutro longitudinal é
I(x)=\frac{1}{12}\,b(x)\,t^{3}.
Substituindo b(x)=\dfrac{b}{L}x obtém-se
I(x)=\frac{1}{12}\,\frac{b}{L}\,t^{3}\,x.
Explicação didática: a fórmula I=\tfrac{1}{12}bt^{3} é a conhecida para retângulo com base b e altura t (altura elevada ao cubo porque a resistência à flexão cresce fortemente com a espessura).
Passo 5
Usar a relação curvatura = momento dividido por rigidez flexional para obter a equação diferencial da deflexão.
Explicação didática: integrou-se a curvatura que é a segunda derivada da deflexão; as constantes C_{1},C_{2} serão determinadas pelas condições de contorno da viga em balanço.
Passo 7
Aplicar as condições de contorno da viga em balanço (fixa na raiz x=L: deslocamento e inclinação nulos) para determinar C_{1} e C_{2}.
Condições na raiz (seção presa em x=L):
v(L)=0,\qquad v'(L)=0.
Usando v'(L)=\dfrac{A}{3}L^{3}+C_{1}=0 obtém-se
C_{1}=-\frac{A}{3}L^{3}.
Usando v(L)=\dfrac{A}{12}L^{4}+C_{1}L+C_{2}=0 e substituindo C_{1} dá
Justificativa de que é máxima: a curvatura é não-negativa para 0\le x\le L (pois \kappa(x)=A x^{2}\ge0), e as condições de contorno fixas na raiz fazem com que o maior deslocamento ocorra na ponta livre; portanto v(0) é o deslocamento máximo.