P12.26 Determine a inclinação na extremidade B e a deflexão máxima da chapa triangular de espessura constante t em balanço. A chapa é feita de material com módulo de elasticidade E.

Passo 1

O problema (imagem usada para extrair os dados geométricos) descreve uma chapa triangular em balanço de comprimento L, espessura constante t e módulo de elasticidade E. A largura na raiz (extremidade presa) é b e a chapa afila até largura zero na extremidade livre B. Há uma carga distribuída vertical para baixo com intensidade uniforme w por unidade de área sobre a superfície da chapa. A coordenada x está indicada na figura partindo da extremidade livre B em direção à raiz (ou seja, x=0 em B e x=L na raiz).
Perguntas: determinar (1) a inclinação (ângulo/taxa de variação da deflexão) na extremidade B e (2) a deflexão máxima da chapa.
Informações relevantes extraídas da figura e do enunciado:
\begin{aligned} &\text{comprimento: } L,\\\ &\text{largura na raiz: } b,\quad\text{largura na ponta: }0,\\\ &\text{espessura: } t,\\\ &\text{módulo de elasticidade: } E,\\\ &\text{carga por área: } w,\\\ &\text{coordenada: } x\text{ medida de }B\text{ para a raiz (}0\le x\le L\text{).} \end{aligned}óá

Passo 2

Expressar a largura variável b(x) e a carga por unidade de comprimento q(x) usada na teoria de vigas.
A largura varia linearmente de 0 em x=0 até b em x=L, logo
b(x)=\frac{b}{L}\,x.
A carga w é dada por unidade de área; a carga resultante por unidade de comprimento (ao longo da direção da viga) é
q(x)=w\;b(x)=w\frac{b}{L}x.
Explicação didática: multiplicamos a intensidade por área w pela largura local b(x) para obter a carga ao longo da linha (unidade: força por comprimento), que é a entrada correta para as fórmulas de vigas.

Passo 3

Determinar o momento fletor M(x) em uma seção localizada a uma distância x da ponta livre (isto é, devido às cargas entre 0 e x).
Para uma viga em balanço a partir da ponta livre, o momento em x causado pela carga distribuída q(s) (com s variável de 0 a x) é
M(x)=\int_{0}^{x} q(s)\,(x-s)\,ds.
Substituindo q(s)=\dfrac{w b}{L}s:
\begin{aligned} M(x)&=\int_{0}^{x}\left(\frac{w b}{L}s\right)(x-s)\,ds =\frac{w b}{L}\int_{0}^{x}\big(xs-s^{2}\big)\,ds\\[6pt] &=\frac{w b}{L}\left[x\cdot\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right] =\frac{w b}{L}\left(\frac{1}{6}x^{3}\right). \end{aligned}
Portanto
M(x)=\frac{w b}{6L}\,x^{3}.
Comentário: o momento depende só da distribuição de cargas, não da rigidez.]

Passo 4

Determinar o momento de inércia da seção I(x) (seção retangular de largura b(x) e espessura t) usado no raio de curvatura.
Para uma seção retangular com base b(x) (na direção lateral) e altura (espessura) t (a espessura é a dimensão que contribui com t^3 no momento de inércia quando a flexão é no plano da chapa), o momento de inércia em torno do eixo neutro longitudinal é
I(x)=\frac{1}{12}\,b(x)\,t^{3}.
Substituindo b(x)=\dfrac{b}{L}x obtém-se
I(x)=\frac{1}{12}\,\frac{b}{L}\,t^{3}\,x.
Explicação didática: a fórmula I=\tfrac{1}{12}bt^{3} é a conhecida para retângulo com base b e altura t (altura elevada ao cubo porque a resistência à flexão cresce fortemente com a espessura).

Passo 5

Usar a relação curvatura = momento dividido por rigidez flexional para obter a equação diferencial da deflexão.
A curvatura da viga é
\kappa(x)=\frac{d^{2}v}{dx^{2}}=\frac{M(x)}{E\,I(x)}.
Substituindo M(x)=\dfrac{w b}{6L}x^{3} e I(x)=\dfrac{1}{12}\dfrac{b}{L}t^{3}x, temos (note que b e L cancelam):
\begin{aligned} \frac{d^{2}v}{dx^{2}} &=\frac{\dfrac{w b}{6L}x^{3}}{E\left(\dfrac{1}{12}\dfrac{b}{L}t^{3}x\right)} =\frac{w b x^{3}}{6L}\cdot\frac{12L}{E b t^{3} x}\\[6pt] &=\frac{2w}{E t^{3}}\,x^{2}. \end{aligned}
Definindo para simplificar A=\dfrac{2w}{E t^{3}}, a equação fica
\frac{d^{2}v}{dx^{2}}=A x^{2}.]

Passo 6

Integrar a equação de curvatura duas vezes para obter a inclinação v'(x) e a deflexão v(x), introduzindo constantes de integração.
Primeira integração (para obter a inclinação):
\frac{dv}{dx}=v'(x)=\int A x^{2}\,dx=\frac{A}{3}x^{3}+C_{1}.
Segunda integração (para obter a deflexão):
v(x)=\int\left(\frac{A}{3}x^{3}+C_{1}\right)\,dx=\frac{A}{12}x^{4}+C_{1}x+C_{2}.
Explicação didática: integrou-se a curvatura que é a segunda derivada da deflexão; as constantes C_{1},C_{2} serão determinadas pelas condições de contorno da viga em balanço.

Passo 7

Aplicar as condições de contorno da viga em balanço (fixa na raiz x=L: deslocamento e inclinação nulos) para determinar C_{1} e C_{2}.
Condições na raiz (seção presa em x=L):
v(L)=0,\qquad v'(L)=0.
Usando v'(L)=\dfrac{A}{3}L^{3}+C_{1}=0 obtém-se
C_{1}=-\frac{A}{3}L^{3}.
Usando v(L)=\dfrac{A}{12}L^{4}+C_{1}L+C_{2}=0 e substituindo C_{1}
\begin{aligned} 0&=\frac{A}{12}L^{4}-\frac{A}{3}L^{4}+C_{2} =\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{3}\right)A L^{4}+C_{2}\\[6pt] &=\left(-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}\right)A L^{4}+C_{2} =\frac{3}{12}A L^{4}+C_{2}. \end{aligned}
Logo
C_{2}=-\frac{3}{12}A L^{4}=-\frac{A}{4}L^{4}.
(Verificação do sinal: como escolhemos sinais consistentes, as expressões finais abaixo tornam-se claras.)]

Passo 8

Avaliar a inclinação na extremidade B (em x=0).
A inclinação é v'(x)=\dfrac{A}{3}x^{3}+C_{1}. Em x=0:
v'(0)=C_{1}=-\frac{A}{3}L^{3}.
Substituindo A=\dfrac{2w}{E t^{3}} obtemos
v'(0)=-\frac{2w}{E t^{3}}\cdot\frac{L^{3}}{3}=-\frac{2wL^{3}}{3E t^{3}}.
Interpretação: o sinal negativo indica rotação no sentido da carga (descida). O valor absoluto da inclinação é
\left|\,v'(0)\right|=\frac{2wL^{3}}{3E t^{3}}.

Passo 9

Avaliar a deflexão máxima (aqui é a deflexão na extremidade livre B, x=0) e justificar ser máxima.
A deflexão em x=0 é
v(0)=C_{2}=-\frac{A}{4}L^{4}.
Substituindo A=\dfrac{2w}{E t^{3}} obtemos
v(0)=-\frac{2w}{E t^{3}}\cdot\frac{L^{4}}{4}=-\frac{wL^{4}}{2E t^{3}}.
Magnitude da deflexão na ponta:
\delta_{\max}=\left|\,v(0)\right|=\frac{wL^{4}}{2E t^{3}}.
Justificativa de que é máxima: a curvatura é não-negativa para 0\le x\le L (pois \kappa(x)=A x^{2}\ge0), e as condições de contorno fixas na raiz fazem com que o maior deslocamento ocorra na ponta livre; portanto v(0) é o deslocamento máximo.

Resposta

\displaystyle v'(0)=-\frac{2wL^{3}}{3E t^{3}}\
\displaystyle \delta_{\max}=\left|v(0)\right|=\frac{wL^{4}}{2E t^{3}}

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