Calcule o número de soluções inteiras positivas de:
(b) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{11}=11

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros positivos de
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{11}=11,
ou seja, cada x_{i} satisfaz \,x_{i}\ge1. O conteúdo é de combinatória: contagem de composições de um inteiro em partes positivas, que se resolve com o princípio das estrelas e barras.

Passo 2

Para aplicar estrelas e barras, fazemos a mudança de variável
x_{i}=y_{i}+1,
de modo que y_{i}\ge0 e
\sum_{i=1}^{11}y_{i}=11-11=0.
O teorema das estrelas e barras para variáveis não-negativas diz que o número de soluções de
\sum_{i=1}^{k}y_{i}=N com y_{i}\ge0 é
\binom{N+k-1}{k-1}.
Aqui N=0 e k=11, logo
\binom{0+11-1}{11-1}=\binom{10}{10}=1.

Resposta

1

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