Calcule o número de soluções inteiras positivas de:
(a) x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=8

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras e positivas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=8.
O conteúdo aqui é combinação com repetição (também conhecido como “balls and bars”). Vamos transformar as variáveis para usar o caso de soluções não negativas.

Passo 2

Como cada \,x_i\ge1, fazemos a mudança de variável
y_i = x_i - 1,
de modo que agora \,y_i\ge0.

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)=8
fica
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 8 - 4 = 4.

Passo 4

Agora queremos o número de soluções inteiras não negativas de
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 4.
Pelo teorema de combinação com repetição, esse total é
\binom{4 + 4 -1}{4 -1} = \binom{7}{3} = 35.

Resposta

O número de soluções inteiras positivas é 35.

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