Calcule
, onde
é a curva de equação
1, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
e
é a curva
percorrida no sentido anti-horário. Lista das informações importantes fornecidas:
- •Campo vetorial(P,Q)dado acima.
- •\gammaé uma curva fechada e regular, orientada positivamente (anti-horário).
- •O denominador(x{2}+y{2})^{2}anula-se em(0,0), logo o campo não está definido na origem.
- •A origem(0,0)pertence ao interior da curva \gamma , pois substituindo(0,0)na equação da curva obtém-se(1/9)<1.
Passo 2
Estratégia: normalmente usaríamos o Teorema de Green (relaciona linha integral de
com a integral dupla da rotação
sobre o interior). Vou lembrar a versão relevante do Teorema de Green:
válida quando
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
(ou seja, no domínio considerado), e
é uma região simples (sem buracos). Aqui o campo não está definido em
, então não podemos aplicar Green diretamente sobre todo o interior de
porque esse interior contém um ponto singular. A técnica é: aplicar Green na região interior de
com um pequeno disco de raio
centrado na origem removido, e depois analisar a circulação na fronteira interna (o pequeno círculo). Se a rotação for zero fora da origem, a integral sobre
reduz-se à integral ao redor do pequeno círculo em torno da origem (no limite
). Vamos calcular a rotação e seguir esse plano.
Passo 3
Calcular a rotação
para
. Para facilitar, ponho
. Então
Calculo
:
Calculo
:
Agora a rotação:
Agrupando termos:
Como
, segue
Portanto, para todo
temos
Passo 4
Interpretação: o campo é irrotacional (rot = 0) em toda a região onde está definido, isto é, em
. Assim, se tivéssemos uma curva fechada que não envolve a origem, a integral seria zero. Como
envolve a origem, a integral sobre
é igual à integral sobre um pequeno círculo centrado na origem (em sentido anti-horário) — este é o contorno interior quando aplicamos Green na região obtida removendo um disco centrado na origem. Ou seja,
onde
é o círculo de raio
centrado em
orientado positivamente, e o valor não depende de
(desde que pequeno). Então basta parametrizar esse círculo e calcular a integral.
Passo 5
Parametrizo o círculo
(vou usar
em vez de
) por
Então
Avalio
e
na parametrização:
Agora calculo o integrando
:
Somando:
Usando
, simplifica para
Portanto a integral ao longo do círculo é
Calculo essa integral usando a identidade
:
Então
Como o valor não depende de
(desde que
), este é o mesmo valor da integral sobre
.