Calcule
, onde
e
é a curva orientada positivamente que parametriza a fronteira de uma região D cuja área é 6 .
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral de linha
onde a curva
é a fronteira orientada positivamente (isto é, no sentido anti-horário) de uma região
cuja área é
.
Informações dadas:
A área da região
é
.
A orientação de é positiva (anti-horária).
A orientação de
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha ao longo da fronteira de uma região plana numa integral dupla sobre a região. O enunciado do Teorema de Green (forma adequada para nosso caso) é:
onde
e
são as componentes do campo vetorial
. Aqui:
-
é a integral de linha ao longo da fronteira orientada positivamente, -
é a derivada parcial de em relação a , -
é a derivada parcial de em relação a , -
é o elemento de área.
Quando usar o Teorema de Green: precisamos que
e
tenham derivadas parciais contínuas numa região que contém
e sua fronteira. No nosso caso
e
são polinômios, portanto têm derivadas parciais contínuas em toda parte — condição satisfeita. Por isso podemos aplicar o Teorema de Green e substituir a integral de linha por uma integral dupla sobre
.
Passo 3
Identificar
e
a partir de
:
Agora calculamos as derivadas parciais pedidas pelo Teorema de Green, explicando o que fazemos:
-
significa: derivar em relação a , tratando como constante. A derivada de em relação a é . A parcela é constante em relação a , então sua derivada é . Logo
-
significa: derivar em relação a , tratando como constante. A derivada de em relação a é (pois não depende de ). A derivada de em relação a é . Logo
Passo 4
Substituímos no integrando do Teorema de Green:
Ou seja, o integrando é a função constante
sobre a região
.
Agora aplicamos a igualdade do Teorema de Green:
Regra útil (explicação didática): a integral dupla de uma função constante
sobre uma região
é igual a
vezes a área de
:
Isso segue porque integrar uma constante é somar essa constante em cada unidade de área da região.
Passo 5
Aplicando a regra com
e
:
Portanto
Observação final (rápida): não foi necessário parametrizar explicitamente
nem conhecer a forma de
, apenas sua área e o fato de que
têm derivadas contínuas — é exatamente o tipo de situação em que o Teorema de Green torna a conta bem simples. Força aí — você já tem a resposta!