Calcule \int_{\gamma} F \cdot d \gamma, onde F(x, y)=\left(x^{2}+y, 3 x-y^{2}\right) e \gamma é a curva orientada positivamente que parametriza a fronteira de uma região D cuja área é 6 .

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral de linha
\int_{\gamma} F\cdot d\gamma
onde a curva \gamma é a fronteira orientada positivamente (isto é, no sentido anti-horário) de uma região D cuja área é 6.
Informações dadas:
F(x,y)=\bigl(x^{2}+y,\;3x-y^{2}\bigr).
A área da região D é \text{Área}(D)=6Á.
A orientação de \gamma é positiva (anti-horária).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha ao longo da fronteira de uma região plana numa integral dupla sobre a região. O enunciado do Teorema de Green (forma adequada para nosso caso) é:
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo vetorial F=(P,Q). Aqui:
  • \oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy é a integral de linha ao longo da fronteira orientada positivamente,
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x,
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y,
  • dA é o elemento de área.
Quando usar o Teorema de Green: precisamos que P e Q tenham derivadas parciais contínuas numa região que contém D e sua fronteira. No nosso caso P e Q são polinômios, portanto têm derivadas parciais contínuas em toda parte — condição satisfeita. Por isso podemos aplicar o Teorema de Green e substituir a integral de linha por uma integral dupla sobre D.

Passo 3

Identificar P e Q a partir de F:
P(x,y)=x^{2}+y,\qquad Q(x,y)=3x-y^{2}.
Agora calculamos as derivadas parciais pedidas pelo Teorema de Green, explicando o que fazemos:
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} significa: derivar Q(x,y)=3x-y^{2} em relação a x, tratando y como constante. A derivada de 3x em relação a x é 3. A parcela -y^{2} é constante em relação a x, então sua derivada é 0. Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=3.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} significa: derivar P(x,y)=x^{2}+y em relação a y, tratando x como constante. A derivada de x^{2} em relação a y é 0 (pois não depende de y). A derivada de y em relação a y é 1. Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=1.

Passo 4

Substituímos no integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3-1=2.
Ou seja, o integrando é a função constante 2 sobre a região D.
Agora aplicamos a igualdade do Teorema de Green:
\int_{\gamma} F\cdot d\gamma=\iint_{D} 2\,dA.
Regra útil (explicação didática): a integral dupla de uma função constante c sobre uma região D é igual a c vezes a área de D:
\iint_{D} c\,dA = c\cdot \text{Área}(D).Á
Isso segue porque integrar uma constante é somar essa constante em cada unidade de área da região.

Passo 5

Aplicando a regra com c=2 e \text{Área}(D)=6Á:
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Área}(D)=2\cdot 6=12.Á
Portanto
\int_{\gamma} F\cdot d\gamma = 12.
Observação final (rápida): não foi necessário parametrizar explicitamente \gamma nem conhecer a forma de D, apenas sua área e o fato de que P,Q têm derivadas contínuas — é exatamente o tipo de situação em que o Teorema de Green torna a conta bem simples. Força aí — você já tem a resposta!

Resposta

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