Calcule \oint_{C}\left\{[\sin (x)+3 y] d x+\left[e^{y^{2}}+2 x\right] d y\right\} ao longo do retângulo de vértices (1,2),(5,2),(5,3) e (1,3), no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
\oint_{C}\big\{[\sin(x)+3y]\,dx + \big[e^{y^{2}}+2x\big]\,dy\big\}
ao longo do retângulo de vértices (1,2),(5,2),(5,3),(1,3) no sentido anti-horário.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • A função de linha é dada por P(x,y)=\sin(x)+3y (multiplicando dx) e Q(x,y)=e^{y^{2}}+2x (multiplicando dy).\n
  • A curva C é o contorno do retângulo cuja região interior R tem x variando de 1 a 5 e y variando de 2 a 3.\n
  • A orientação é anti-horária (sentido positivo).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o Teorema de Green porque ele transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior, o que costuma simplificar muito quando a região é um retângulo. O Teorema de Green (no sentido da circulação) afirma que, para P e Q com derivadas parciais contínuas em uma região que contém R e sua fronteira C,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui:\n
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, mantendo y fixo;\n
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y, mantendo x fixo;\n
  • dA representa o elemento de área na região R.\n
    Justificativa de aplicabilidade: P(x,y)=\sin(x)+3y e Q(x,y)=e^{y^{2}}+2x têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2, logo o Teorema de Green é aplicável. A orientação anti-horária é a orientação positiva exigida pelo teorema.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais necessárias, explicando cada termo:\n
  • Para \frac{\partial Q}{\partial x}: Q(x,y)=e^{y^{2}}+2x. A derivada de e^{y^{2}} em relação a x é 0 porque e^{y^{2}} não depende de x. A derivada de 2x em relação a x é 2. Portanto,
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2.\n
  • Para \frac{\partial P}{\partial y}: P(x,y)=\sin(x)+3y. A derivada de \sin(x) em relação a y é 0 porque \sin(x) não depende de y. A derivada de 3y em relação a y é 3. Portanto,
\frac{\partial P}{\partial y} = 3.

Passo 4

Forme o integrando do Teorema de Green substituindo as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - 3 = -1.
Isso significa que a integrandoda integral dupla é a função constante -1 sobre toda a região R.

Passo 5

Expresse a integral dupla sobre o retângulo R. Como R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 5,\;2\le y\le 3\}, temos
\iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = \int_{y=2}^{3}\int_{x=1}^{5} (-1)\,dx\,dy.

Passo 6

Calcule a integral iterada passo a passo:\n
Integral interna em x:
\int_{x=1}^{5} (-1)\,dx = -1\cdot (5-1) = -4.\n
Agora a integral externa em y:
\int_{y=2}^{3} (-4)\,dy = -4\cdot (3-2) = -4\cdot 1 = -4.\n
Também pode-se ver de maneira imediata: a integral de -1 sobre R é -1 vezes a área de R, e a área do retângulo é (5-1)\cdot(3-2)=4\cdot1=4, logo o resultado é -4.

Passo 7

Interpretação final e checagem: o resultado negativo significa que a circulação do campo ao longo de C (no sentido anti-horário) é -4. Verificamos que usamos corretamente a orientação positiva (anti-horária), aplicamos o Teorema de Green com funções de derivadas contínuas, e as contas são simples porque o integrando ficou constante.

Resposta

-4

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