Calcule
ao longo do retângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
ao longo do retângulo de vértices
no sentido anti-horário.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- A função de linha é dada por
(multiplicando ) e (multiplicando ).\n - A curva
é o contorno do retângulo cuja região interior tem variando de a e variando de a .\n - A orientação é anti-horária (sentido positivo).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o Teorema de Green porque ele transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior, o que costuma simplificar muito quando a região é um retângulo. O Teorema de Green (no sentido da circulação) afirma que, para
e
com derivadas parciais contínuas em uma região que contém
e sua fronteira
,
Aqui:\n
-
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo;\n -
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo;\n -
representa o elemento de área na região .\n
Justificativa de aplicabilidade:e têm derivadas parciais contínuas em todo , logo o Teorema de Green é aplicável. A orientação anti-horária é a orientação positiva exigida pelo teorema.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias, explicando cada termo:\n
- Para
: . A derivada de em relação a é porque não depende de . A derivada de em relação a é . Portanto,
- Para
: . A derivada de em relação a é porque não depende de . A derivada de em relação a é . Portanto,
Passo 4
Forme o integrando do Teorema de Green substituindo as derivadas parciais:
Isso significa que a integrandoda integral dupla é a função constante
sobre toda a região
.
Passo 5
Expresse a integral dupla sobre o retângulo
. Como
, temos
Passo 6
Calcule a integral iterada passo a passo:\n
Integral interna em :
Integral interna em
Agora a integral externa em
:
Também pode-se ver de maneira imediata: a integral de
sobre
é
vezes a área de
, e a área do retângulo é
, logo o resultado é
.
Passo 7
Interpretação final e checagem: o resultado negativo significa que a circulação do campo ao longo de
(no sentido anti-horário) é
. Verificamos que usamos corretamente a orientação positiva (anti-horária), aplicamos o Teorema de Green com funções de derivadas contínuas, e as contas são simples porque o integrando ficou constante.