Calcule
, onde
e
é a curva dada por
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular
. - A campo vetorial é
. - A curva
está parametrizada por
- Portanto a parametrização é
com . - Os pontos inicial e final são
e .
Passo 2
Fórmula prática para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
- Se
é a parametrização de em , então
- Vamos calcular
. Como ,
válido para
. (Veremos que a integral é bem comportada mesmo em
.)
Passo 3
Expressar o integrando de forma conveniente usando uma observação algébrica simples.
- Calcule
. Como , , ,
- Note a identidade (regra do produto/derivação)
Isto é porque
, etc. Portanto
Passo 4
Aplicar a identidade ao integrando
.
- Substituindo
e usando a observação,
- Assim a integral fica
Passo 5
Resolver a integral por substituição (aqui a substuição é
).
- Como
, temos
- Calculamos
e . Logo a expressão fica
Passo 6
Comentário didático extra (método alternativo e por que isso funciona).
- Note que
é um campo conservativo: existe uma função potencial tal que . De fato
- Pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos,
o que dá o mesmo resultado
. Esse método evita calcular
explicitamente e é muito útil quando reconhecemos
como gradiente.