Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} x, e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} y, e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} z\right) e C é a curva dada por
x=\sqrt{t}, \quad y=t, \quad z=t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 2

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • A campo vetorial é \displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}x,\;e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}y,\;e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}z\bigr).
  • A curva C está parametrizada por
x=\sqrt{t},\qquad y=t,\qquad z=t^{2},\qquad 0\le t\le 2.
  • Portanto a parametrização é \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{t},\,t,\,t^{2}\bigr) com t\in[0,2].
  • Os pontos inicial e final são \mathbf{r}(0)=(0,0,0) e \mathbf{r}(2)=\bigl(\sqrt{2},2,4\bigr).

Passo 2

Fórmula prática para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
  • Se \mathbf{r}(t) é a parametrização de C em t\in[a,b], então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
  • Vamos calcular \mathbf{r}'(t). Como \mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{t},\,t,\,t^{2}\bigr),
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{d}{dt}\sqrt{t},\; \frac{d}{dt}t,\; \frac{d}{dt}t^{2}\right) =\left(\frac{1}{2\sqrt{t}},\;1,\;2t\right),
válido para t>0. (Veremos que a integral é bem comportada mesmo em t=0.)

Passo 3

Expressar o integrando de forma conveniente usando uma observação algébrica simples.
  • Calcule S(t)=x(t)^{2}+y(t)^{2}+z(t)^{2}. Como x=\sqrt{t}, y=t, z=t^{2},
S(t)=t+t^{2}+t^{4}.
  • Note a identidade (regra do produto/derivação)
\frac{d}{dt}S(t)=2\bigl(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t)\bigr).
Isto é porque \frac{d}{dt}(x^{2})=2xx', etc. Portanto
x x' + y y' + z z'=\frac{1}{2}S'(t).

Passo 4

Aplicar a identidade ao integrando \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
  • Substituindo \mathbf{F} e usando a observação,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\bigl(x x' + y y' + z z'\bigr) = e^{S(t)}\cdot\frac{1}{2}S'(t).
  • Assim a integral fica
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2}\frac{1}{2}e^{S(t)}S'(t)\,dt.

Passo 5

Resolver a integral por substituição (aqui a substuição é u=S(t)).
  • Como S'(t)\,dt=dS, temos
\int_{0}^{2}\frac{1}{2}e^{S(t)}S'(t)\,dt=\frac{1}{2}\int_{S(0)}^{S(2)}e^{u}\,du =\frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{u=S(0)}^{u=S(2)} =\frac{1}{2}\bigl(e^{S(2)}-e^{S(0)}\bigr).
  • Calculamos S(0)=0+0+0=0 e S(2)=2+4+16=22. Logo a expressão fica
\frac{1}{2}\bigl(e^{22}-e^{0}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e^{22}-1\bigr).

Passo 6

Comentário didático extra (método alternativo e por que isso funciona).
  • Note que \mathbf{F} é um campo conservativo: existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. De fato
\nabla\!\left(\tfrac{1}{2}e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) =\tfrac{1}{2}e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\nabla(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(x,y,z)=\mathbf{F}.
  • Pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(\mathbf{r}(2)\bigr)-\varphi\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr) =\tfrac{1}{2}e^{S(2)}-\tfrac{1}{2}e^{S(0)},
o que dá o mesmo resultado \tfrac{1}{2}(e^{22}-1). Esse método evita calcular \mathbf{r}'(t) explicitamente e é muito útil quando reconhecemos \mathbf{F} como gradiente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(e^{22}-1\bigr)

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