A3.3 Calcule x, para t>0, onde
\begin{gathered} \frac{d x}{d t}+2 x+\int_{0}^{t} x d t=f(t) \\\ x(0)=-1 \end{gathered}
sabendo que f(t)=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular x, para t>0, sabendo que
\frac{d x}{d t}+2 x+\int_{0}^{t} x\,d s=f(t),
com a condição inicial
x(0)=-1,
e que f(t)=1.\n
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação:}\quad x'(t)+2x(t)+\int_{0}^{t}x(s)\,ds=1,\\\ &\text{Condição inicial:}\quad x(0)=-1,\\\ &\text{Domínio:}\quad t>0. \end{aligned}çãçãí

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): a equação tem uma integral dependente do limite t. Uma maneira eficiente é derivar ambos os lados em relação a t para eliminar a integral, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\frac{d}{dt}\left(\int_{0}^{t}x(s)\,ds\right)=x(t),
desde que x seja diferenciável (aqui assumimos a regularidade necessária para a operação — comum em exercícios desse tipo). Como f(t)=1 é constante, sua derivada será 0. Vamos fazer isso.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação original em relação a t obtemos:
\frac{d}{dt}\big(x'(t)+2x(t)+\int_{0}^{t}x(s)\,ds\big)=\frac{d}{dt}(1).
Aplicando a derivada termo a termo e o Teorema Fundamental do Cálculo:
x''(t)+2x'(t)+x(t)=0,
portanto chegamos a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea:
x''+2x'+x=0.

Passo 4

Precisamos de condições iniciais para essa EDO de segunda ordem. Já temos x(0)=-1. Para obter x'(0), avaliamos a equação original em t=0:
x'(0)+2x(0)+\int_{0}^{0}x(s)\,ds=1.
Como \int_{0}^{0}x(s)\,ds=0, fica
x'(0)+2x(0)=1.
Substituindo x(0)=-1 obtemos
x'(0)+2(-1)=1\quad\Rightarrow\quad x'(0)-2=1\quad\Rightarrow\quad x'(0)=3.
Portanto as condições iniciais para a EDO são
x(0)=-1,\qquad x'(0)=3.

Passo 5

Resolver a EDO homogênea x''+2x'+x=0. Usamos o método do polinômio característico: suponha solução da forma e^{rt}. O polinômio característico é
r^{2}+2r+1=0.
Calculando as raízes:
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=-1
é raiz dupla. Para uma raiz dupla r=-1, a solução geral da EDO homogênea é
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: a presença do fator t multiplica a segunda solução independente quando a raiz é dupla.)

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, em t=0:
x(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}=-1,
logo C_{1}=-1.
Agora derivamos a solução geral para usar x'(0)=3. Derivando
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-t},
usamos produto e cadeia:
x'(t)=C_{2}e^{-t}+(C_{1}+C_{2}t)(-e^{-t})=\big(C_{2}-C_{1}-C_{2}t\big)e^{-t}.
Avaliar em t=0:
x'(0)=\big(C_{2}-C_{1}\big)e^{0}=C_{2}-C_{1}.
Como x'(0)=3 e C_{1}=-1, temos
C_{2}-(-1)=3\quad\Rightarrow\quad C_{2}+1=3\quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.

Passo 7

Substituindo C_{1}=-1 e C_{2}=2 na solução geral obtemos
x(t)=(-1+2t)e^{-t}.
Para ficar seguro (boa prática na prova), vale verificar que essa função satisfaz a equação original. Calculamos x'(t) e a integral \int_{0}^{t}x(s)\,ds.
Primeiro,
x'(t)=(3-2t)e^{-t}.
Agora a integral (cálculo passo a passo):
\int_{0}^{t}x(s)\,ds=\int_{0}^{t}(-1+2s)e^{-s}\,ds.
Separando termos:
\int_{0}^{t}(-e^{-s})\,ds + \int_{0}^{t}2s e^{-s}\,ds.
A primeira parte é \big[e^{-s}\big]_{0}^{t}=e^{-t}-1.
A segunda parte por integração por partes (tomando u=2s, dv=e^{-s}ds) dá
-2te^{-t}+2-2e^{-t}.
Somando as duas parcelas obtemos
\int_{0}^{t}x(s)\,ds=1-(1+2t)e^{-t}.
Agora somando x'(t)+2x(t)+\int_{0}^{t}x(s)\,ds:
x'(t)+2x(t)=(3-2t)e^{-t}+2(-1+2t)e^{-t}=(1+2t)e^{-t},
e portanto
x'(t)+2x(t)+\int_{0}^{t}x(s)\,ds=(1+2t)e^{-t}+\big(1-(1+2t)e^{-t}\big)=1,
que coincide com f(t)=1. Logo a verificação confirma que a solução encontrada é correta.

Passo 8

Resumo final do raciocínio: derivamos a equação original para eliminar a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtivemos uma EDO de segunda ordem homogênea com condições iniciais obtidas pela avaliação em t=0, resolvemos a EDO por equação característica com raiz dupla, ajustamos constantes com as condições iniciais e verificamos a solução na equação original.

Resposta

x(t)=(-1+2t)e^{-t}

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