A3.3 Calcule
, para
, onde
sabendo que
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, para
, sabendo que
com a condição inicial
e que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática): a equação tem uma integral dependente do limite
. Uma maneira eficiente é derivar ambos os lados em relação a
para eliminar a integral, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
desde que
seja diferenciável (aqui assumimos a regularidade necessária para a operação — comum em exercícios desse tipo). Como
é constante, sua derivada será
. Vamos fazer isso.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação original em relação a
obtemos:
Aplicando a derivada termo a termo e o Teorema Fundamental do Cálculo:
portanto chegamos a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea:
Passo 4
Precisamos de condições iniciais para essa EDO de segunda ordem. Já temos
. Para obter
, avaliamos a equação original em
:
Como
, fica
Substituindo
obtemos
Portanto as condições iniciais para a EDO são
Passo 5
Resolver a EDO homogênea
. Usamos o método do polinômio característico: suponha solução da forma
. O polinômio característico é
Calculando as raízes:
é raiz dupla. Para uma raiz dupla
, a solução geral da EDO homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: a presença do fator
multiplica a segunda solução independente quando a raiz é dupla.)
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, em
:
logo
.
Agora derivamos a solução geral para usar
. Derivando
usamos produto e cadeia:
Avaliar em
:
Como
e
, temos
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos
Para ficar seguro (boa prática na prova), vale verificar que essa função satisfaz a equação original. Calculamos
e a integral
.
Primeiro,
Agora a integral (cálculo passo a passo):
Separando termos:
A primeira parte é
.
A segunda parte por integração por partes (tomando ,
) dá
A segunda parte por integração por partes (tomando
Somando as duas parcelas obtemos
Agora somando
:
e portanto
que coincide com
. Logo a verificação confirma que a solução encontrada é correta.
Passo 8
Resumo final do raciocínio: derivamos a equação original para eliminar a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtivemos uma EDO de segunda ordem homogênea com condições iniciais obtidas pela avaliação em
, resolvemos a EDO por equação característica com raiz dupla, ajustamos constantes com as condições iniciais e verificamos a solução na equação original.