Calcular as correntes instantâneas no capacitor e no indutor, dado que:
Passo 1
O enunciado pede: “Calcular as correntes instantâneas no capacitor e no indutor”. As informações dadas são:
Portanto precisamos determinar
(corrente no capacitor, em ampères, função do tempo) e
(corrente no indutor, em ampères, função do tempo).
Passo 2
Fórmulas básicas que vamos usar (vou explicar cada uma):
- Para um capacitor, a corrente instantânea é proporcional à derivada da tensão:
Aqui
é a corrente (A),
é a capacitância (F) e
é a tensão (V). A razão física: corrente é mudança de carga, e carga no capacitor é
, logo
.
- Para um indutor, a tensão é proporcional à derivada da corrente:
onde
é a indutância (H). Isolando a corrente temos uma integral:
onde
é uma constante de integração (corrente inicial). Em regime senoidal estacionário normalmente tomamos a componente DC nula (ou assumimos corrente inicial zero), então
para a solução particular que representa o regime AC puro.
Também precisamos lembrar as derivadas e integrais básicas de funções seno/cosseno:
Nessas fórmulas,
é a frequência angular em rad/s (aqui
).
Passo 3
Calcular
aplicando
.
Primeiro calculamos a derivada de
:
Detalhe aritmético:
. Então
Agora multiplicamos por
:
Com
,
Fazendo a conta passo a passo:
e multiplicando por
obtemos
. Portanto
É comum expressar tudo em senos com defasagem de
. Como
, podemos também escrever
Interpretação de fase: a corrente no capacitor “antecipa” a tensão em
(ou seja, corrente leva tensão).
Passo 4
Calcular
a partir de
, integrando
.
Integramos
:
Dividindo por
obtemos
onde
é a constante de integração (corrente DC/condição inicial). Escrevendo de forma mais direta:
Agora substituímos
. Calculamos o denominador:
. Então
Arredondando razoavelmente:
Assim
Para o regime senoidal estacionário (sem componente DC, ou assumindo corrente inicial nula) tomamos
. Então a solução particular é
Convertendo para seno com fase:
portanto
Interpretação de fase: a corrente no indutor “atrasada” em
em relação à tensão (ou seja, corrente atrasa a tensão).
Passo 5
Resumo físico e checagens rápidas:
- Amplitudes calculadas (ver Passos anteriores): corrente do capacitor
(amplitude) e do indutor (amplitude). - Fases:
está à frente de ; está atrás de . - Assumi aqui solução de regime AC sem componente DC (ou corrente inicial nula). Se houvesse condição inicial diferente, teria que incluir a constante
em e uma componente exponencial transitória, mas para provas em regime senoidal normalmente isso não é pedido.