Calcular as correntes instantâneas no capacitor e no indutor, dado que:
\begin{gathered} v(t)=141 \operatorname{sen} 250 t \\ L=330 m H \\ C=50 \times 10^{-6} F \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: “Calcular as correntes instantâneas no capacitor e no indutor”. As informações dadas são:
v(t)=141\operatorname{sen} 250t
L=330\text{ mH}=0,330\\ \text{H}
C=50\times 10^{-6}\\ \text{F}=50\cdot 10^{-6}\\ \text{F}
Portanto precisamos determinar i_C(t) (corrente no capacitor, em ampères, função do tempo) e i_L(t) (corrente no indutor, em ampères, função do tempo).

Passo 2

Fórmulas básicas que vamos usar (vou explicar cada uma):
  • Para um capacitor, a corrente instantânea é proporcional à derivada da tensão:
i_C(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
Aqui i_C(t) é a corrente (A), C é a capacitância (F) e v(t) é a tensão (V). A razão física: corrente é mudança de carga, e carga no capacitor é q=Cv, logo i=dq/dt=C\,dv/dt.
  • Para um indutor, a tensão é proporcional à derivada da corrente:
v(t)=L\frac{di_L(t)}{dt},
onde L é a indutância (H). Isolando a corrente temos uma integral:
i_L(t)=\frac{1}{L}\int v(t)\,dt + K,
onde K é uma constante de integração (corrente inicial). Em regime senoidal estacionário normalmente tomamos a componente DC nula (ou assumimos corrente inicial zero), então K=0 para a solução particular que representa o regime AC puro.
Também precisamos lembrar as derivadas e integrais básicas de funções seno/cosseno:
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen}(\omega t)\big)=\omega\cos(\omega t),
\int \operatorname{sen}(\omega t)\,dt=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)+\text{const}.
Nessas fórmulas, \omega é a frequência angular em rad/s (aqui \omega=250).

Passo 3

Calcular i_C(t) aplicando i_C(t)=C\,dv/dt.
Primeiro calculamos a derivada de v(t):
\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\big(141\operatorname{sen}(250t)\big)=141\cdot 250\cdot \cos(250t).
Detalhe aritmético: 141\cdot 250=35250. Então
\frac{dv(t)}{dt}=35250\cos(250t).
Agora multiplicamos por C:
i_C(t)=C\cdot 35250\cos(250t).
Com C=50\cdot 10^{-6},
i_C(t)=50\cdot 10^{-6}\cdot 35250\cos(250t).
Fazendo a conta passo a passo: 35250\cdot 50=1\,762\,500 e multiplicando por 10^{-6} obtemos 1,7625. Portanto
i_C(t)=1,7625\cos(250t)\\ \text{A}.
É comum expressar tudo em senos com defasagem de 90^\circ. Como \cos(\theta)=\operatorname{sen}(\theta+\tfrac{\pi}{2}), podemos também escrever
i_C(t)=1,7625\operatorname{sen}\!\big(250t+\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \text{A}.
Interpretação de fase: a corrente no capacitor “antecipa” a tensão em 90^\circ (ou seja, corrente leva tensão).

Passo 4

Calcular i_L(t) a partir de v(t)=L\,di_L/dt, integrando v.
Integramos v(t):
\int v(t)\,dt=\int 141\operatorname{sen}(250t)\,dt = -\frac{141}{250}\cos(250t)+\text{const}.
Dividindo por L obtemos
i_L(t)=\frac{1}{L}\left(-\frac{141}{250}\cos(250t)\right)+K,
onde K é a constante de integração (corrente DC/condição inicial). Escrevendo de forma mais direta:
i_L(t)=-\frac{141}{250L}\cos(250t)+K.
Agora substituímos L=0,330\\ \text{H}. Calculamos o denominador: 250\cdot 0,330=82,5. Então
\frac{141}{250L}=\frac{141}{82,5}=1,7090909\ldots
Arredondando razoavelmente:
\frac{141}{250L}\approx 1,7091.
Assim
i_L(t)=-1,7091\cos(250t)+K\\ \text{A}.
Para o regime senoidal estacionário (sem componente DC, ou assumindo corrente inicial nula) tomamos K=0. Então a solução particular é
i_L(t)=-1,7091\cos(250t)\\ \text{A}.
Convertendo para seno com fase:
- \cos(\theta)=\operatorname{sen}(\theta-\tfrac{\pi}{2}),
portanto
i_L(t)=1,7091\operatorname{sen}\!\big(250t-\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \text{A}.
Interpretação de fase: a corrente no indutor “atrasada” em 90^\circ em relação à tensão (ou seja, corrente atrasa a tensão).

Passo 5

Resumo físico e checagens rápidas:
  • Amplitudes calculadas (ver Passos anteriores): corrente do capacitor 1,7625\\ \text{A} (amplitude) e do indutor 1,7091\\ \text{A} (amplitude).
  • Fases: i_C está +90^\circ à frente de v; i_L está -90^\circ atrás de v.
  • Assumi aqui solução de regime AC sem componente DC (ou corrente inicial nula). Se houvesse condição inicial diferente, teria que incluir a constante K em i_L(t) e uma componente exponencial transitória, mas para provas em regime senoidal normalmente isso não é pedido.

Resposta

i_C(t)=1,7625\cos(250t)\\ \text{A} = 1,7625\operatorname{sen}\!\big(250t+\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \text{A}
i_L(t)=-1,7091\cos(250t)\\ \text{A} = 1,7091\operatorname{sen}\!\big(250t-\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \text{A}

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