Uma tensão v=200 \operatorname{sen}(314 t) volts é aplicada a um capacitor de capacitância C=120 \mu F, pede-se:
a) Reatância capacitiva X_{c}
b) Valor máximo da corrente
c) Valor eficaz da corrente
d) Valor instantâneo da corrente

Passo 1

Dados fornecidos:
v(t)=200\operatorname{sen}(314\,t)\\ \text{volts}
C=120\\ \mu\text{F}=120\times10^{-6}\\ \text{F}
Questões pedidas:
a) Reatância capacitiva X_C.
b) Valor máximo (amplitude) da corrente I_{m}.
c) Valor eficaz (RMS) da corrente I_{\text{rms}}.
d) Valor instantâneo da corrente i(t).
Observação: aqui a forma da tensão já está em senóide com amplitude V_{m}=200 V e pulsação \omega=314\\ \text{rad/s}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Fórmula e explicação da reatância capacitiva: para um capacitor sob tensão senoidal com pulsação \omega, a reatância capacitiva (no sentido fasorial) é
X_C=-\frac{1}{\omega C}.
O módulo |X_C|=\dfrac{1}{\omega C} tem unidade ohm ( \Omega). Aqui:
\omega=314\\ \text{rad/s},\qquad C=120\times10^{-6}\\ \text{F}.
Calculemos \omega C:
\omega C = 314\cdot 120\times10^{-6}=314\cdot0,00012=0,03768.
Logo
|X_C|=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0,03768}\approx26,54\\ \Omega.
Como reatância capacitiva tem sinal negativo:
X_C=-26,54\\ \Omega.
(Explicação didática curta: o sinal negativo indica que a corrente no capacitor “antecede” a tensão em 90^\circ.)

Passo 3

Valor máximo da corrente — conceito e fórmula: para uma tensão v(t)=V_m\sin(\omega t) aplicada ao capacitor, a corrente instantânea é dada por
i(t)=C\frac{dv}{dt}.
Ao derivar a senoide, a amplitude da corrente (valor máximo) é
I_m=\omega C V_m.
(Outra forma equivalente é usar a relação de amplitude I_m=V_m/|X_C|. Ambas dão o mesmo resultado porque |X_C|=1/(\omega C).)
Usando números:
I_m=\omega C V_m=314\cdot120\times10^{-6}\cdot200.
Calcule:
120\times10^{-6}\cdot200=0,024,
I_m=314\cdot0,024=7,536\\ \text{A}.

Passo 4

Valor eficaz (RMS) da corrente — conceito e cálculo: para uma senoide com amplitude I_m, o valor eficaz é
I_{\text{rms}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}.
(Explicação curta: o RMS é o valor equivalente de corrente contínua que produziria o mesmo aquecimento.)
Aplicando:
I_{\text{rms}}=\frac{7,536}{\sqrt{2}}\approx\frac{7,536}{1,41421356}\approx5,327\\ \text{A}.

Passo 5

Valor instantâneo da corrente — derivação passo a passo: partimos de
v(t)=200\sin(314\,t).
Derivando:
\frac{dv}{dt}=200\cdot 314\cos(314\,t).
Multiplicando por C:
i(t)=C\frac{dv}{dt}=120\times10^{-6}\cdot(200\cdot314)\cos(314\,t).
Já calculamos 120\times10^{-6}\cdot200\cdot314=7,536. Portanto a expressão final é
i(t)=7,536\cos(314\,t)\\ \text{A}.
Forma alternativa (usando fase): como \cos(\theta)=\sin(\theta+\tfrac{\pi}{2}), podemos escrever
i(t)=7,536\sin\!\left(314\,t+\tfrac{\pi}{2}\right)\\ \text{A},
o que deixa explícito que a corrente adianta a tensão de 90^\circ.

Resposta

a) X_C=-26,54\\ \Omega
b) I_m=7,536\\ \text{A}
c) I_{\text{rms}}=5,327\\ \text{A}
d) i(t)=7,536\cos(314\,t)\\ \text{A}

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