Calcule \operatorname{det}(A), sabendo que A é uma matriz de ordem 2025 e tal que A^{t}-10 \cdot I_{2025}=O.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de A. As informações que temos são:
  • A é uma matriz de ordem 2025 (ou seja, A é 2025\times2025).
  • Satisfeita a igualdade A^{t}-10\cdot I_{2025}=O, onde A^{t} é a transposta de A, I_{2025} é a matriz identidade de ordem 2025 e O é a matriz zero da mesma ordem.
  • A pergunta explícita: calcular \operatorname{det}(A).

Passo 2

Interpretação direta da equação. A igualdade matricial
A^{t}-10\cdot I_{2025}=O
significa, ao isolar A^{t},
A^{t}=10\cdot I_{2025}.
Aqui estou usando que se X-Y=O então X=Y. Vou trabalhar a partir dessa relação simples.

Passo 3

Passar da relação sobre A^{t} para uma relação sobre A. Vou transpor ambos os lados da igualdade A^{t}=10\cdot I_{2025}. Usamos duas propriedades básicas da transposição:
  • (M^{t})^{t}=M para qualquer matriz M.
  • (cM)^{t}=c\,M^{t} para qualquer escalar c e matriz M.
    Aplicando a transposição:
A = (A^{t})^{t} = (10\cdot I_{2025})^{t} = 10\cdot (I_{2025})^{t}.
Como a transposta da identidade é ela mesma, (I_{2025})^{t}=I_{2025}, obtemos
A=10\cdot I_{2025}.
Ou seja, A é simplesmente a matriz identidade multiplicada pelo escalar 10.

Passo 4

Lembrar e explicar a propriedade do determinante que vamos usar. Para uma matriz quadrada de ordem n e um escalar c vale
\operatorname{det}(c\cdot I_{n})=c^{n}.
Explicação didática do porquê: a matriz c\cdot I_{n} tem a forma de uma matriz diagonal cujas entradas na diagonal principal são todas iguais a c. O determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas da diagonal; portanto o produto será c\cdot c\cdots c (com n fatores), isto é c^{n}. Outra maneira de ver: multiplicar cada uma das n linhas da matriz identidade por c multiplica o determinante por c em cada linha, resultando em c^{n}\cdot\operatorname{det}(I_{n}), e \operatorname{det}(I_{n})=1, dando o mesmo c^{n}.
Também vale a propriedade \operatorname{det}(M^{t})=\operatorname{det}(M), que justifica calcular o determinante de A a partir de A^{t} caso fosse útil.

Passo 5

Aplicar a propriedade ao nosso caso. Como A=10\cdot I_{2025} e usando \operatorname{det}(c\cdot I_{n})=c^{n} com c=10 e n=2025, temos
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\bigl(10\cdot I_{2025}\bigr)=10^{2025}.

Resposta

10^{2025}

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