Calcule
, sabendo que
é uma matriz de ordem 2025 e tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante de
. As informações que temos são:
-
é uma matriz de ordem (ou seja, é ). - Satisfeita a igualdade
, onde é a transposta de , é a matriz identidade de ordem e é a matriz zero da mesma ordem. - A pergunta explícita: calcular
.
Passo 2
Interpretação direta da equação. A igualdade matricial
significa, ao isolar
,
Aqui estou usando que se
então
. Vou trabalhar a partir dessa relação simples.
Passo 3
Passar da relação sobre
para uma relação sobre
. Vou transpor ambos os lados da igualdade
. Usamos duas propriedades básicas da transposição:
-
para qualquer matriz . -
para qualquer escalar e matriz .
Aplicando a transposição:
Como a transposta da identidade é ela mesma,
, obtemos
Ou seja,
é simplesmente a matriz identidade multiplicada pelo escalar
.
Passo 4
Lembrar e explicar a propriedade do determinante que vamos usar. Para uma matriz quadrada de ordem
e um escalar
vale
Explicação didática do porquê: a matriz
tem a forma de uma matriz diagonal cujas entradas na diagonal principal são todas iguais a
. O determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas da diagonal; portanto o produto será
(com
fatores), isto é
. Outra maneira de ver: multiplicar cada uma das
linhas da matriz identidade por
multiplica o determinante por
em cada linha, resultando em
, e
, dando o mesmo
.
Também vale a propriedade
, que justifica calcular o determinante de
a partir de
caso fosse útil.
Passo 5
Aplicar a propriedade ao nosso caso. Como
e usando
com
e
, temos