Seja uma matriz de ordem 10 tal que \operatorname{det}(2 \cdot A)=\operatorname{det}\left(A^{2}\right). Mostre que se \operatorname{det}(A) \neq 1024, então A não é invertível.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz de ordem 10 e a igualdade \det(2\cdot A)=\det\big(A^{2}\big). A pergunta é: mostrar que, se \det(A)\neq 1024, então A não é invertível.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz quadrada de ordem 10 (ou seja, 10\times10).
  • \det(2\cdot A)=\det\big(A^{2}\big).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica de determinantes: ao multiplicar uma matriz A por um escalar c, cada uma das n linhas (ou colunas) é multiplicada por c, logo o determinante é multiplicado por c por linha. Formalmente:
\det(c\cdot A)=c^{n}\det(A),
onde n é a ordem da matriz. Aqui n=10. Aplicando com c=2 obtemos
\det(2\cdot A)=2^{10}\det(A).
Como 2^{10}=1024, podemos escrever
\det(2\cdot A)=1024\det(A).
(Um exemplo rápido para fixar a ideia: se n=2, \det(2A)=2^{2}\det(A)=4\det(A), porque cada uma das 2 linhas recebe o fator 2.)

Passo 3

Outra propriedade fundamental: o determinante é multiplicativo, isto é, para duas matrizes quadradas compatíveis B e C vale
\det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}.
Aplicando com B=C=A vem
\det\big(A^{2}\big)=\det(A)\det(A)=\big(\det(A)\big)^{2}.
Portanto a expressão do enunciado pode ser reescrita usando as propriedades dos passos anteriores.

Passo 4

Substituindo os resultados dos passos 2 e 3 na igualdade dada \det(2\cdot A)=\det\big(A^{2}\big), obtemos
1024\det(A)=\big(\det(A)\big)^{2}.
Agora tratamos isso como uma equação em x=\det(A):
x^{2}-1024x=0.
Fatorando x fica
x\big(x-1024\big)=0.
Logo as soluções possíveis são x=0 ou x=1024. Em termos do determinante,
\det(A)=0 \quad\text{ou}\quad \det(A)=1024.

Passo 5

Recordando a relação entre determinante e invertibilidade: uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Justificação curta: se A é invertível então existe A^{-1} e \det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1, então \det(A)\neq0; recíproco: se \det(A)\neq0 então a adjunta dividida por \det(A) dá a inversa (construção clássica).
Da solução obtida no passo anterior, as únicas possibilidades para \det(A) são 0 ou 1024. Portanto, se \det(A)\neq1024 necessariamente \det(A)=0. Como \det(A)=0 implica que A não é invertível, concluímos o que se pedia.

Resposta

\det(A)=0, portanto A não é invertível.

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