Seja uma matriz de ordem 10 tal que
. Mostre que se
, então
não é invertível.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz de ordem 10 e a igualdade
. A pergunta é: mostrar que, se
, então
não é invertível.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é uma matriz quadrada de ordem (ou seja, ). -
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica de determinantes: ao multiplicar uma matriz
por um escalar
, cada uma das
linhas (ou colunas) é multiplicada por
, logo o determinante é multiplicado por
por linha. Formalmente:
onde
é a ordem da matriz. Aqui
. Aplicando com
obtemos
Como
, podemos escrever
(Um exemplo rápido para fixar a ideia: se
,
, porque cada uma das 2 linhas recebe o fator 2.)
Passo 3
Outra propriedade fundamental: o determinante é multiplicativo, isto é, para duas matrizes quadradas compatíveis
e
vale
Aplicando com
vem
Portanto a expressão do enunciado pode ser reescrita usando as propriedades dos passos anteriores.
Passo 4
Substituindo os resultados dos passos 2 e 3 na igualdade dada
, obtemos
Agora tratamos isso como uma equação em
:
Fatorando
fica
Logo as soluções possíveis são
ou
. Em termos do determinante,
Passo 5
Recordando a relação entre determinante e invertibilidade: uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
. Justificação curta: se
é invertível então existe
e
, então
; recíproco: se
então a adjunta dividida por
dá a inversa (construção clássica).
Da solução obtida no passo anterior, as únicas possibilidades para são
ou
. Portanto, se
necessariamente
. Como
implica que
não é invertível, concluímos o que se pedia.
Da solução obtida no passo anterior, as únicas possibilidades para