Calcule para um óxido hipotético do tipo AnBmXp que possuem estrutura cristalina do tipo do \mathrm{BaTiO}_{3} (titanato de bário), os seguintes itens:
a) Parâmetro de rede (nm) e (cm)
b) Fator de empacotamento iônico
c) Densidade volumétrica \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right)
d) Densidade iônica linear para direção [101] em íons/nm
e) Densidade iônica planar para o plano (100) em íons/nm²
Dados:
Raio do cátion A é 0,112 \mathrm{~nm}
Raio do cátion B é 0,071 \mathrm{~nm}
Raio do ânion é 0,137 \mathrm{~nm}
A_{\text {cátion } A}=87,62á uma
Acátion B =118,71 uma Aânion
=16 \mathrm{uma}
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado pede para um composto hipotético do tipo A B X_{3} com estrutura perovskita (como \mathrm{BaTiO}_{3}) calcular:
  • (a) o parâmetro de rede a em nm e cm,
  • (b) o fator de empacotamento iônico,
  • (c) a densidade ( \mathrm{g/cm^3}),
  • (d) a densidade iônica linear na direção [101] (íons/nm),
  • (e) a densidade iônica planar no plano (100) (íons/nm ^2).
    Dados:
    \displaystyle r_A=0{,}112\\ \mathrm{nm},\;r_B=0{,}071\\ \mathrm{nm},\;r_X=0{,}137\\ \mathrm{nm}
    Massas atômicas: M_A=87{,}62\\ \mathrm{u},\;M_B=118{,}71\\ \mathrm{u},\;M_X=16\\ \mathrm{u}
    Constante de Avogadro: N_A=6{,}02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}

Passo 2

Para perovskita cúbica, a distância B–X ao longo de um aresta é \tfrac a2, e vale
\tfrac a2 = r_B + r_X
Logo
a = 2\,(r_B + r_X) = 2\,(0{,}071 + 0{,}137)\\ \mathrm{nm} = 0{,}416\\ \mathrm{nm}.
Convertendo para cm:
a = 0{,}416\\ \mathrm{nm} = 0{,}416\times10^{-7}\\ \mathrm{cm} = 4{,}16\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

O fator de empacotamento iônico (FEI) é
\mathrm{FEI} = \frac{\sum_i V_i}{V_{\text{célula}}},é
onde na célula temos 1 A, 1 B e 3 X, com volumes
V_A = \tfrac{4}{3}\pi r_A^3,\; V_B = \tfrac{4}{3}\pi r_B^3,\; V_X = \tfrac{4}{3}\pi r_X^3.
Calculando em nm ^3:
V_A=0{,}005886,\; V_B=0{,}001498,\; V_X=0{,}010778,
\sum_i V_i=0{,}005886+0{,}001498+3\cdot0{,}010778=0{,}039717
e
V_{\text{célula}}=a^3=(0{,}416)^3=0{,}072049\\ \mathrm{nm^3}.é
Então
\mathrm{FEI}=\frac{0{,}039717}{0{,}072049}\approx0{,}551.

Passo 4

Massa da fórmula A B X_{3}:
M_{\text{fórmula}}=87{,}62 + 118{,}71 + 3\cdot16 = 254{,}33\\ \mathrm{g/mol}.ó
Massa por célula:
m_{\text{célula}}=\frac{254{,}33}{N_A}= \frac{254{,}33}{6{,}02\times10^{23}}=4{,}224\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
Volume da célula em cm ^3:
V_{\text{célula}}=(4{,}16\times10^{-8})^3=7{,}21\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.é
Densidade:
\rho=\frac{m_{\text{célula}}}{V_{\text{célula}}} =\frac{4{,}224\times10^{-22}}{7{,}21\times10^{-23}} \approx5{,}86\\ \mathrm{g/cm^3}.éé

Passo 5

Na direção [101], o segmento de comprimento a\sqrt2 vai de A em (0,0,0) a A em (1,0,1) e intercepta um X em (\tfrac12,0,\tfrac12). São 3 íons por trecho de comprimento a\sqrt2.
Densidade linear:
\frac{3}{a\sqrt2} =\frac{3}{0{,}416\times1{,}4142}\\ \mathrm{nm^{-1}} \approx5{,}10\\ \mathrm{íons/nm}.í

Passo 6

No plano (100) em x=0, há 4 cátions A nos cantos e 1 ânion X no centro da face. Total 5 íons por área a^2.
Densidade planar:
\frac{5}{a^2} =\frac{5}{(0{,}416)^2}\\ \mathrm{nm^{-2}} \approx28{,}9\\ \mathrm{íons/nm^2}.í

Resposta

(a) a=0{,}416\\ \mathrm{nm}=4{,}16\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
(b) Fator de empacotamento iônico \approx0{,}551.
(c) \rho\approx5{,}86\\ \mathrm{g/cm^3}.
(d) Densidade linear [101] \approx5{,}10\\ \mathrm{íons/nm}.í
(e) Densidade planar (100) \approx28{,}9\\ \mathrm{íons/nm^2}.í

Exercícios relacionados