Calcule para um óxido hipotético do tipo AX que possui número de coordenação 8 tanto para os cátions como para os ânions, os seguintes itens:
a) Parâmetro de rede(nm) e (cm)
b) Fator de empacotamento iônico
c) Densidade volumétrica?
d) Densidade iônica linear para direção [010]?
Dados:
Raio do cátion é 0,170 \mathrm{~nm}, Raio do ânion é 0,181 \mathrm{~nm} Acátion = 132,91 uma
Aânion =35,45 \mathrm{uma}
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
e) Densidade iônica planar para o plano (112)?

Passo 1

O composto AX tem coordenação 8 para cátion e ânion, o que caracteriza a estrutura tipo CsCl (rede cúbica simples com um tipo iônico no corpo e o outro nos vértices). Vamos usar:
  • Geometria de contato catiônico–aniônico sobre a diagonal do cubo ( \tfrac{\sqrt{3}}{2}a = r_{\text{cat}}+r_{\text{ân}}â).
  • Definição de fator de empacotamento iônico (razão entre volume total das esferas iônicas e volume da célula).
  • Densidade = massa na célula / volume da célula.
  • Densidade linear = número de centros iônicos ao longo da direção por comprimento.
  • Densidade planar = número de centros iônicos na família de planos por área do paralelogramo unitário.

Passo 2

Pela geometria CsCl tem
r_{\text{cat}} + r_{\text{ân}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,aâ
Logo
a = \frac{2\,(0,170 + 0,181)\,\text{nm}}{\sqrt{3}} = \frac{2\cdot0,351}{1,732} \approx0,4057\\ \text{nm}.
Convertendo para cm ( 1\\ \text{nm}=10^{-7}\\ \text{cm}):
a = 0,4057\times10^{-7}\\ \text{cm} = 4,057\times10^{-8}\\ \text{cm}.

Passo 3

No tipo CsCl há 1 cátion + 1 ânion por célula. O volume das esferas é
V_{\text{ions}} =\frac{4\pi}{3}\bigl(r_{\text{cat}}^3 + r_{\text{ân}}^3\bigr) =\frac{4\pi}{3}\bigl(0,170^3 + 0,181^3\bigr)\,\text{nm}^3 \approx0,04542\\ \text{nm}^3.â
O volume da célula é
V_{\text{cel}} = a^3 = (0,4057)^3 \approx0,0668\\ \text{nm}^3.
Então o fator de empacotamento iônico é
\mathrm{FEI} =\frac{V_{\text{ions}}}{V_{\text{cel}}} \approx\frac{0,04542}{0,0668} \approx0,68\quad(68\%).

Passo 4

Massa por célula:
m_{\text{cel}} =\frac{M_{\text{cat}}+M_{\text{ân}}}{N_A} =\frac{132,91 + 35,45}{6,02\times10^{23}}\\ \text{g} \approx2,797\times10^{-22}\\ \text{g}.â
Volume da célula em cm³:
V_{\text{cel}}=(4,057\times10^{-8})^3 \approx6,68\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.
Logo a densidade é
\rho =\frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}} \approx\frac{2,797\times10^{-22}}{6,68\times10^{-23}} \approx4,19\\ \text{g/cm}^3.

Passo 5

Na direção [010] (eixo cristalográfico y) passam apenas cátiones nos vértices, espaçados de a.
\text{Densidade linear} =\frac{1\\ \text{íon por intervalo }a}{a} =\frac{1}{a} \approx\frac{1}{0,4057\\ \text{nm}} \approx2,47\\ \text{íon/nm} \;=\;2,47\times10^7\\ \text{íon/cm}.ííí

Passo 6

No plano (112) a interseção unitária tem forma de paralelogramo de área
A_{\text{pl}} = a^2\,\frac{\sqrt{6}}{2}.
Encontram‐se 4 cátiones (cada um contribuindo 1/4) e 2 ânions (internos, contribuindo 1) nesse paralelogramo, totalizando 3 centros iônicos.
\text{Densidade planar} =\frac{3}{A_{\text{pl}}} =\frac{3}{a^2\,\frac{\sqrt{6}}{2}} =\frac{6}{a^2\sqrt{6}} \approx\frac{6}{0,4057^2\cdot2,449} \approx14,9\\ \text{íon/nm}^2 \;=\;1,49\times10^{15}\\ \text{íon/cm}^2.íí

Resposta

a) a=0,4057\\ \mathrm{nm}=4,057\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
b) Fator de empacotamento iônico \approx0,68.
c) Densidade \rho\approx4,19\\ \mathrm{g/cm}^3.
d) Densidade linear em [010] \approx2,47\\ \mathrm{íon/nm}=2,47\times10^7\\ \mathrm{íon/cm}.íí
e) Densidade planar em (112) \approx14,9\\ \mathrm{íon/nm}^2=1,49\times10^{15}\\ \mathrm{íon/cm}^2.íí

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