Calcule \partial z / \partial x e \partial z / \partial y se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada:
x e^{3 z}-2 y e^{x z}+3 z e^{x y}=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x e^{3 z}-2 y e^{x z}+3 z e^{x y}=1,
onde z=f(x,y) depende de x e y. O que se pede é:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A equação relaciona x, y e z.
  • z é função de x e y, ou seja, ao diferenciar devemos usar regra da cadeia quando aparecer z.
  • Para obter \dfrac{\partial z}{\partial x} diferenciamos a equação em relação a x mantendo y constante; para \dfrac{\partial z}{\partial y} diferenciamos em relação a y mantendo x constante.

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}. Notação curta: escrevo z_x para \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Regra que usamos (lembrete rápido, em linguagem amigável):
  • Regra da cadeia para exponencial: se u depende de x, \dfrac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} u'(x).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'v+u v'.
Diferenciando termo a termo a equação original em relação a x (com y constante):
  1. Para x e^{3z}:
  • É produto x por e^{3z}.
  • Derivada: 1\cdot e^{3z} + x\cdot \big(e^{3z}\cdot (3 z_x)\big).
    Portanto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{3z}\big)=e^{3z}+3x e^{3z} z_x.
  1. Para -2 y e^{x z}:
  • y é constante aqui, então fator constante -2y.
  • Preciso derivar e^{x z} em relação a x. Pelo produto na potência x z (que depende de x via x e via z), temos
\frac{\partial}{\partial x}(x z)=z + x z_x,
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\frac{\partial}{\partial x}e^{x z}=e^{x z}\,(z + x z_x).
Multiplicando pelo fator -2y,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-2 y e^{x z}\big)=-2 y e^{x z}(z + x z_x).
  1. Para 3 z e^{x y}:
  • e^{x y} depende de x (com y constante): \dfrac{\partial}{\partial x}e^{x y}=y e^{x y}.
  • Usando produto 3 z \cdot e^{x y}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(3 z e^{x y}\big)=3 z_x e^{x y} + 3 z \cdot (y e^{x y}).
Ou seja,
\frac{\partial}{\partial x}\big(3 z e^{x y}\big)=3 e^{x y} z_x + 3 y z e^{x y}.
A derivada do lado direito 1 é 0.

Passo 3

Agora juntamos todas as derivadas e montamos a equação em z_x:
\big(e^{3z}+3x e^{3z} z_x\big) + \big(-2 y e^{x z}(z + x z_x)\big) + \big(3 e^{x y} z_x + 3 y z e^{x y}\big)=0.
Agrupando os termos que contêm z_x e os que não contêm:
  • Coeficiente de z_x:
3x e^{3z} - 2 x y e^{x z} + 3 e^{x y}.
(veja que de -2y e^{xz}(z + x z_x) surgiu -2 x y e^{xz} z_x.)
  • Termos sem z_x:
e^{3z} - 2 y z e^{x z} + 3 y z e^{x y}.
Portanto a equação fica
\big(3x e^{3z} - 2 x y e^{x z} + 3 e^{x y}\big) z_x + \big(e^{3z} - 2 y z e^{x z} + 3 y z e^{x y}\big)=0.
Isolando z_x,
z_x = -\frac{e^{3z} - 2 y z e^{x z} + 3 y z e^{x y}}{3x e^{3z} - 2 x y e^{x z} + 3 e^{x y}}.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial z}{\partial y}. Notação curta: z_y para \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Diferenciamos a mesma equação, agora em relação a y (com x constante).
  1. Para x e^{3z}:
  • x é constante; derivada = x \cdot e^{3z}\cdot (3 z_y).
\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{3z}\big)=3x e^{3z} z_y.
  1. Para -2 y e^{x z}:
  • Produto em y: derivada = -2\big(1\cdot e^{x z} + y\cdot \frac{\partial}{\partial y}e^{x z}\big).
  • Agora \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x z}=e^{x z}\cdot (x z_y) (porque x é constante).
    Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(-2 y e^{x z}\big)=-2 e^{x z} -2 y e^{x z}\cdot (x z_y).
Ou seja,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-2 y e^{x z}\big)=-2 e^{x z} -2 x y e^{x z} z_y.
  1. Para 3 z e^{x y}:
  • Produto 3 z por e^{x y}. Aqui \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x y}=x e^{x y}.
  • Aplicando produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3 z e^{x y}\big)=3 z_y e^{x y} + 3 z \cdot (x e^{x y}).
Ou seja,
\frac{\partial}{\partial y}\big(3 z e^{x y}\big)=3 e^{x y} z_y + 3 x z e^{x y}.
Lado direito 1 0.

Passo 5

Juntando as derivadas em relação a y:
\big(3x e^{3z} z_y\big) + \big(-2 e^{x z} -2 x y e^{x z} z_y\big) + \big(3 e^{x y} z_y + 3 x z e^{x y}\big)=0.
Agrupando os termos com z_y e sem z_y:
  • Coeficiente de z_y é o mesmo que antes:
3x e^{3z} - 2 x y e^{x z} + 3 e^{x y}.
  • Termos sem z_y:
-2 e^{x z} + 3 x z e^{x y}.
A equação passa a ser
\big(3x e^{3z} - 2 x y e^{x z} + 3 e^{x y}\big) z_y + \big(-2 e^{x z} + 3 x z e^{x y}\big)=0.
Isolando z_y,
z_y = \frac{2 e^{x z} - 3 x z e^{x y}}{3x e^{3z} - 2 x y e^{x z} + 3 e^{x y}}.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{e^{3z}-2 y z e^{x z}+3 y z e^{x y}}{3x e^{3z}-2 x y e^{x z}+3 e^{x y}}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2 e^{x z}-3 x z e^{x y}}{3x e^{3z}-2 x y e^{x z}+3 e^{x y}}

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