Calcule
e
se
é definida implicitamente pela equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
onde
depende de
e
. O que se pede é:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A equação relaciona
, e . -
é função de e , ou seja, ao diferenciar devemos usar regra da cadeia quando aparecer . - Para obter
diferenciamos a equação em relação a mantendo constante; para diferenciamos em relação a mantendo constante.
Passo 2
Vamos calcular
. Notação curta: escrevo
para
.
Regra que usamos (lembrete rápido, em linguagem amigável):
- Regra da cadeia para exponencial: se
depende de , . - Regra do produto:
.
Diferenciando termo a termo a equação original em relação a
(com
constante):
- Para
:
- É produto
por . - Derivada:
.
Portanto:
- Para
:
-
é constante aqui, então fator constante . - Preciso derivar
em relação a . Pelo produto na potência (que depende de via e via ), temos
logo
Multiplicando pelo fator
,
- Para
:
-
depende de (com constante): . - Usando produto
:
Ou seja,
A derivada do lado direito
é
.
Passo 3
Agora juntamos todas as derivadas e montamos a equação em
:
Agrupando os termos que contêm
e os que não contêm:
- Coeficiente de
:
(veja que de
surgiu
.)
- Termos sem
:
Portanto a equação fica
Isolando
,
Passo 4
Agora calculamos
. Notação curta:
para
.
Diferenciamos a mesma equação, agora em relação a
(com
constante).
- Para
:
-
é constante; derivada = .
- Para
:
- Produto em
: derivada = . - Agora
(porque é constante).
Assim
Ou seja,
- Para
:
- Produto
por . Aqui . - Aplicando produto:
Ou seja,
Lado direito
dá
.
Passo 5
Juntando as derivadas em relação a
:
Agrupando os termos com
e sem
:
- Coeficiente de
é o mesmo que antes:
- Termos sem
:
A equação passa a ser
Isolando
,