Usando a regra da cadeia, calcule:
e
, sendo
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
,
e
da função
sendo as variáveis
e
dependentes de
dadas por
Resumo do que temos:
- Função final:
. - Relações dependentes:
e . - Pedidos:
, e .
Passo 2
Regra que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
se e
, então, por exemplo,
se
De forma análoga valem
Explicando bem: cada termo
mede quanto
muda se só
muda (com
fixo);
mede quanto
muda quando
muda (com
fixos). A regra soma as contribuições via
e via
.
Passo 3
Derivadas parciais de
em relação a
e
(tratando a outra variável como constante):
- Derivada de
em relação a (com fixo):
porque
é linear em
com fator
.
- Derivada de
em relação a (com fixo):
Aqui usei a regra básica
.
Passo 4
Derivadas parciais de
e
em relação a
:
- Para
:
- Para
(produto simples):
Passo 5
Agora calculamos
aplicando a fórmula da cadeia e substituindo os resultados dos passos anteriores:
Substituindo
e
:
Agora simplificar o segundo termo:
. Logo
Passo 6
Calcular
:
Substituindo
e
:
Simplificar o segundo termo:
. Assim
Passo 7
Calcular
:
Substituindo
e
:
Simplificar o segundo termo:
. Portanto