Usando a regra da cadeia, calcule:
\partial r / \partial u, \partial r / \partial v e \partial r / \partial t, sendo r=x \ln (y) ; x=3 u+v t, y=u v t

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial r}{\partial u}, \dfrac{\partial r}{\partial v} e \dfrac{\partial r}{\partial t} da função
r = x\ln(y),
sendo as variáveis x e y dependentes de (u,v,t) dadas por
x = 3u + v t,\qquad y = u v t.
Resumo do que temos:
  • Função final: r(x,y)=x\ln(y).
  • Relações dependentes: x(u,v,t)=3u+vt e y(u,v,t)=uvt.
  • Pedidos: \dfrac{\partial r}{\partial u}, \dfrac{\partial r}{\partial v} e \dfrac{\partial r}{\partial t}.

Passo 2

Regra que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
se r=r(x,y) e x=x(u,v,t),\,y=y(u,v,t), então, por exemplo,
\frac{\partial r}{\partial u}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}.
De forma análoga valem
\frac{\partial r}{\partial v}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}, \qquad \frac{\partial r}{\partial t}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando bem: cada termo \dfrac{\partial r}{\partial x} mede quanto r muda se só x muda (com y fixo); \dfrac{\partial x}{\partial u} mede quanto x muda quando u muda (com v,t fixos). A regra soma as contribuições via x e via y.

Passo 3

Derivadas parciais de r em relação a x e y (tratando a outra variável como constante):
  • Derivada de r em relação a x (com y fixo):
\frac{\partial r}{\partial x}=\ln(y),
porque r=x\ln(y) é linear em x com fator \ln(y).
  • Derivada de r em relação a y (com x fixo):
\frac{\partial r}{\partial y}=x\cdot\frac{d}{dy}\ln(y)=\frac{x}{y}.
Aqui usei a regra básica \dfrac{d}{dy}\ln(y)=\dfrac{1}{y}.

Passo 4

Derivadas parciais de x e y em relação a u,v,t:
  • Para x=3u+vt:
\frac{\partial x}{\partial u}=3,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=t,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=v.
  • Para y=uvt (produto simples):
\frac{\partial y}{\partial u}=vt,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=ut,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=uv.

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial r}{\partial u} aplicando a fórmula da cadeia e substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial r}{\partial u} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = \ln(y)\cdot 3 + \frac{x}{y}\cdot (v t).
Substituindo x=3u+vt e y=uvt:
\frac{\partial r}{\partial u}=3\ln(uvt)+\frac{3u+vt}{uvt}\cdot(vt).
Agora simplificar o segundo termo: \dfrac{3u+vt}{uvt}\cdot(vt)=\dfrac{3u+vt}{u}=3+\dfrac{vt}{u}. Logo
\frac{\partial r}{\partial u}=3\ln(uvt)+3+\frac{v t}{u}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial r}{\partial v}:
\frac{\partial r}{\partial v} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = \ln(y)\cdot t + \frac{x}{y}\cdot (u t).
Substituindo x e y:
\frac{\partial r}{\partial v}=t\ln(uvt)+\frac{3u+vt}{uvt}\cdot(ut).
Simplificar o segundo termo: \dfrac{3u+vt}{uvt}\cdot(ut)=\dfrac{3u+vt}{v}= \dfrac{3u}{v}+t. Assim
\frac{\partial r}{\partial v}=t\ln(uvt)+\frac{3u}{v}+t.

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial r}{\partial t}:
\frac{\partial r}{\partial t} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = \ln(y)\cdot v + \frac{x}{y}\cdot (u v).
Substituindo x e y:
\frac{\partial r}{\partial t}=v\ln(uvt)+\frac{3u+vt}{uvt}\cdot(uv).
Simplificar o segundo termo: \dfrac{3u+vt}{uvt}\cdot(uv)=\dfrac{3u+vt}{t}= \dfrac{3u}{t}+v. Portanto
\frac{\partial r}{\partial t}=v\ln(uvt)+\frac{3u}{t}+v.

Resposta

\dfrac{\partial r}{\partial u}=3\ln(uvt)+3+\dfrac{v t}{u}
\dfrac{\partial r}{\partial v}=t\ln(uvt)+\dfrac{3u}{v}+t
\dfrac{\partial r}{\partial t}=v\ln(uvt)+\dfrac{3u}{t}+v

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