1. Calcule \partial \mathrm{f} / \partial \mathrm{x} e \partial \mathrm{f} / \partial \mathrm{y} para a função f(x, y)=x^{2} y+\operatorname{sen}(x y).

Passo 1

O exercício pede as derivadas parciais de f(x,y)=x^2y+\sin(xy). Para calcular \partial f/\partial x tratamos y como constante, e para \partial f/\partial y tratamos x como constante, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de \partial f/\partial x:
Ao derivar x^2y em relação a x, mantém-se y fixo, logo
\frac{\partial}{\partial x}(x^2y)=2x\,y.
Para \sin(xy), aplicamos regra da cadeia com u=xy:
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) =\cos(xy)\,\frac{\partial}{\partial x}(xy) =y\cos(xy).
Somando as duas partes,
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y\cos(xy).

Passo 3

Cálculo de \partial f/\partial y:
Ao derivar x^2y em relação a y, mantém-se x fixo, então
\frac{\partial}{\partial y}(x^2y)=x^2.
Para \sin(xy), pela regra da cadeia com u=xy:
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy) =\cos(xy)\,\frac{\partial}{\partial y}(xy) =x\cos(xy).
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+x\cos(xy).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y\cos(xy), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+x\cos(xy).

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