1. 0 que significa calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis? Qual a diferença em relação à derivada usual?

Passo 1

O enunciado pergunta o que significa calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis e qual a diferença disso em relação à derivada usual de uma função de uma única variável. O conteúdo envolve funções de várias variáveis, definição de derivada parcial e comparação com derivada de função de variável única.

Passo 2

Considere uma função f de duas variáveis, por exemplo (x,y)\mapsto f(x,y). A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_{0},y_{0}) é o limite que mede a taxa de variação de f quando x varia em torno de x_{0} mantendo y fixo em y_{0}. Em notação, definimos
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}.

Passo 3

Esse limite é análogo ao da derivada usual, mas a diferença está em que tratamos y como constante. Na derivada usual de uma função g\colon x\mapsto g(x) só existe a variável x, então todo o comportamento de g depende exclusivamente de como x varia. Já em f(x,y), mudar x pode interagir com y, mas na derivada parcial ignoramos essas interações mantendo as outras variáveis fixas.

Passo 4

Em termos práticos, enquanto a derivada usual g'(x_{0}) dá uma única taxa de variação ao longo do eixo x na reta do gráfico de g, a derivada parcial \partial f/\partial x é apenas uma componente da taxa de variação de f num ponto em várias direções possíveis. Para descrever totalmente como f varia em torno de (x_{0},y_{0}), precisamos das derivadas parciais em relação a todas as variáveis (o vetor gradiente).

Resposta

Calcular a derivada parcial de f em relação a uma variável consiste em avaliar o limite do quociente incremental variando apenas essa variável e mantendo as demais constantes. A diferença para a derivada usual é que, numa função de várias variáveis, isolamos a variação em apenas uma direção (coordenada), enquanto na derivada usual lidamos com a taxa de variação de uma função de única variável.

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