- 0 que significa calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis? Qual a diferença em relação à derivada usual?
Passo 1
O enunciado pergunta o que significa calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis e qual a diferença disso em relação à derivada usual de uma função de uma única variável. O conteúdo envolve funções de várias variáveis, definição de derivada parcial e comparação com derivada de função de variável única.
Passo 2
Considere uma função
de duas variáveis, por exemplo
. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite que mede a taxa de variação de
quando
varia em torno de
mantendo
fixo em
. Em notação, definimos
Passo 3
Esse limite é análogo ao da derivada usual, mas a diferença está em que tratamos
como constante. Na derivada usual de uma função
só existe a variável
, então todo o comportamento de
depende exclusivamente de como
varia. Já em
, mudar
pode interagir com
, mas na derivada parcial ignoramos essas interações mantendo as outras variáveis fixas.
Passo 4
Em termos práticos, enquanto a derivada usual
dá uma única taxa de variação ao longo do eixo
na reta do gráfico de
, a derivada parcial
é apenas uma componente da taxa de variação de
num ponto em várias direções possíveis. Para descrever totalmente como
varia em torno de
, precisamos das derivadas parciais em relação a todas as variáveis (o vetor gradiente).
Resposta
Calcular a derivada parcial de
em relação a uma variável consiste em avaliar o limite do quociente incremental variando apenas essa variável e mantendo as demais constantes. A diferença para a derivada usual é que, numa função de várias variáveis, isolamos a variação em apenas uma direção (coordenada), enquanto na derivada usual lidamos com a taxa de variação de uma função de única variável.