1- a) Calcule o percentual de trabalho a frio para um metal com geometria circular cujos diâmetro inicial e final sâo 15,2 e 11,4 \mathrm{~mm}, respectivamente.
b) Calcule o percentual de trabalho a frio para um metal com geometria retangular cujas dimensŏes iniciais e finais săo 125 \times 175 \mathrm{~mm} e 75 \times 200 \mathrm{~mm}, respectivamente.
c) Com base nos cálculos dos itens a) e b), qual metal é mais duro? Por que?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (separados por item):
a) Diâmetro inicial d_0 = 15,2\\ \mathrm{mm} e diâmetro final d_f = 11,4\\ \mathrm{mm}. Pede-se o percentual de trabalho a frio.
b) Dimensões iniciais 125 \times 175\\ \mathrm{mm} e finais 75 \times 200\\ \mathrm{mm}. Pede-se o percentual de trabalho a frio.
c) Com base nos resultados dos itens (a) e (b), determinar qual metal é mais duro e justificar o porquê.

Passo 2

O que significa “percentual de trabalho a frio” que vamos calcular: é o percentual de redução da área da seção transversal causado pela deformação plástica. Definimos:
A_0 = \text{área inicial},\qquad A_f = \text{área final}.áá
O percentual de trabalho a frio (redução de área) é dado por
\text{Redução (\%)} = \left(1 - \frac{A_f}{A_0}\right)\cdot 100\%.çã
Explicação didática: A_0 e A_f são as áreas transversais antes e depois da deformação. A fórmula mede a fração de área que se perdeu (transformada por deformação), multiplicada por 100\% para ficar em porcentagem. Sempre que a área final for menor que a inicial essa expressão dá um número positivo indicando quanto foi reduzido.

Passo 3

Caso do cilindro (geometria circular) — como passar de diâmetro para área:
Área de um círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Como o fator \frac{\pi}{4} cancela na razão \frac{A_f}{A_0}, obtemos a fórmula prática:
\frac{A_f}{A_0} = \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2,
logo
\text{Redução (\%)} = \left(1 - \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2\right)\cdot 100\%.çã
Aqui d_0 é o diâmetro inicial e d_f o diâmetro final.

Passo 4

Cálculo numérico para o item (a):
Primeiro a razão dos diâmetros:
\frac{d_f}{d_0} = \frac{11,4}{15,2} = 0,75.
Elevar ao quadrado:
\left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2 = 0,75^2 = 0,5625.
Aplicar a fórmula da redução:
\text{Redução (\%)} = \left(1 - 0,5625\right)\cdot 100\% = 0,4375\cdot 100\% = 43,75\%.çã
Interpretação: o metal sofreu uma redução de área de 43,75\% por trabalho a frio.

Passo 5

Caso retangular (item b) — cálculo das áreas:
Área inicial:
A_0 = 125 \times 175 = 21875\\ \mathrm{mm}^2.
Área final:
A_f = 75 \times 200 = 15000\\ \mathrm{mm}^2.
Agora a redução percentual:
\frac{A_f}{A_0} = \frac{15000}{21875}.
Simplificando dividindo ambos por 125:
\frac{A_f}{A_0} = \frac{120}{175} = \frac{24}{35}\approx 0,685714.
Logo
\text{Redução (\%)} = \left(1 - \frac{24}{35}\right)\cdot 100\% = \frac{11}{35}\cdot 100\% \approx 31,4286\%\approx 31,43\%.çã

Passo 6

Interpretação física e resposta ao item (c):
Quando um metal é submetido a trabalho a frio ele é deformado plasticamente, aumentando a densidade de discordâncias e impedindo o movimento fácil dessas discordâncias. Isso gera encruamento (work hardening) — ou seja, aumento da resistência e da dureza. Portanto, quanto maior a redução de área por trabalho a frio, maior tende a ser a dureza resultante.
Comparando os percentuais obtidos: 43,75\% (item a) é maior que 31,43\% (item b). Logo o metal do item (a) foi encruado mais intensamente e, portanto, será mais duro.

Resposta

a) 43,75\%
b) 31,43\%
c) O metal do item (a) é mais duro, pois sofreu maior redução de área por trabalho a frio ( 43,75\% contra 31,43\%), o que provoca maior encruamento e, consequentemente, maior dureza.

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