Calcule o volume de uma célula unitária CCC em termos de raio atômico R .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume da célula unitária CCC em termos do raio atômico R.
Informações relevantes (o que a estrutura CCC nos dá):
  • A célula é cúbica, com aresta de comprimento a (essa é a incógnita geométrica que vamos relacionar com R).
  • Na estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) há átomos nos oito cantos do cubo e um átomo no centro do cubo.
  • Na aproximação usual, os átomos são esferas que se tangenciam ao longo da diagonal do corpo: um átomo do centro toca os átomos dos cantos ao longo da diagonal principal do cubo.
  • O dado numérico que nos dão é o raio atômico R; precisamos expressar o volume da célula unitária em função de R.

Passo 2

Vamos entender a geometria da célula e escrever uma relação entre a (aresta do cubo) e R.
Definição geométrica: a diagonal do corpo do cubo (aquela que vai de um canto (0,0,0) ao canto oposto (a,a,a)) tem comprimento
\text{diagonal do corpo} = \sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}\,a.
Nessa diagonal, o átomo do centro está exatamente no ponto médio \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right). A distância entre o centro do átomo no canto e o centro do átomo no corpo é, portanto, metade da diagonal do corpo:
\text{distância canto---centro}=\frac{\sqrt{3}\,a}{2}.â
Explicação física: essas duas esferas (átomo no canto e átomo no centro) estão em contato, então a distância entre seus centros é 2R (raio + raio). Portanto essa distância geométrica deve ser igual a 2R.

Passo 3

Escrevendo a igualdade entre a distância geométrica e 2R e resolvendo para a:
Começamos com
\frac{\sqrt{3}\,a}{2}=2R.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
\sqrt{3}\,a=4R.
Agora isolamos a dividindo por \sqrt{3}:
a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.
Comentário sobre o que fizemos: multiplicamos para livrar do 2, depois dividimos por \sqrt{3} — operações básicas de álgebra. Aqui a é a aresta do cubo expressa em termos do raio R.

Passo 4

Agora que temos a em função de R, calculamos o volume da célula unitária, que para um cubo é
V=a^{3}.
Substituímos a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}} em a^{3}:
V=\left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{(4R)^{3}}{(\sqrt{3})^{3}}.
Calculando numerador e denominador separadamente:
(4R)^{3}=64\,R^{3}, \qquad (\sqrt{3})^{3}=3\sqrt{3}.
Logo
V=\frac{64\,R^{3}}{3\sqrt{3}}.
Breve verificação de consistência: a expressão tem dimensão de volume (proporcional a R^{3}) e a constante é positiva, então faz sentido físico e dimensional.

Resposta

V=\frac{64\,R^{3}}{3\sqrt{3}}

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