Calcule o volume de uma célula unitária CCC em termos de raio atômico R .
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume da célula unitária CCC em termos do raio atômico
.
Informações relevantes (o que a estrutura CCC nos dá):
- A célula é cúbica, com aresta de comprimento
(essa é a incógnita geométrica que vamos relacionar com ). - Na estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) há átomos nos oito cantos do cubo e um átomo no centro do cubo.
- Na aproximação usual, os átomos são esferas que se tangenciam ao longo da diagonal do corpo: um átomo do centro toca os átomos dos cantos ao longo da diagonal principal do cubo.
- O dado numérico que nos dão é o raio atômico
; precisamos expressar o volume da célula unitária em função de .
Passo 2
Vamos entender a geometria da célula e escrever uma relação entre
(aresta do cubo) e
.
Definição geométrica: a diagonal do corpo do cubo (aquela que vai de um canto
ao canto oposto
) tem comprimento
Nessa diagonal, o átomo do centro está exatamente no ponto médio
. A distância entre o centro do átomo no canto e o centro do átomo no corpo é, portanto, metade da diagonal do corpo:
Explicação física: essas duas esferas (átomo no canto e átomo no centro) estão em contato, então a distância entre seus centros é
(raio + raio). Portanto essa distância geométrica deve ser igual a
.
Passo 3
Escrevendo a igualdade entre a distância geométrica e
e resolvendo para
:
Começamos com
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora isolamos
dividindo por
:
Comentário sobre o que fizemos: multiplicamos para livrar do
, depois dividimos por
— operações básicas de álgebra. Aqui
é a aresta do cubo expressa em termos do raio
.
Passo 4
Agora que temos
em função de
, calculamos o volume da célula unitária, que para um cubo é
Substituímos
em
:
Calculando numerador e denominador separadamente:
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Breve verificação de consistência: a expressão tem dimensão de volume (proporcional a
) e a constante é positiva, então faz sentido físico e dimensional.