Calcule o perímetro do triângulo com os vértices \mathrm{A}(0,5), \mathrm{B}(3,-2) e \mathrm{C}(-3,-2).

Passo 1

O que o problema pede: calcular o perímetro do triângulo com vértices \mathrm{A}(0,5), \mathrm{B}(3,-2) e \mathrm{C}(-3,-2).\n
Informações dadas: as coordenadas dos três vértices são \mathrm{A}(0,5), \mathrm{B}(3,-2) e \mathrm{C}(-3,-2).\n
Objetivo final: somar as medidas dos três lados AB, BC e CA para obter o perímetro P = AB + BC + CA.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: distância entre dois pontos no plano cartesiano.\n
Explicação didática: se temos dois pontos P_1(x_1,y_1) e P_2(x_2,y_2), a diferença horizontal é \Delta x = x_2-x_1 e a diferença vertical é \Delta y = y_2-y_1. Pela ideia do Teorema de Pitágoras (o comprimento da hipotenusa num triângulo retângulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos) a distância d entre os pontos é
d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
Aqui \Delta x e \Delta y são os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo formado ao juntar os dois pontos por um segmento e projetar nas direções x e y.

Passo 3

Calcular BC. Usamos B(3,-2) e C(-3,-2).\n
Diferenças:
\Delta x_{BC} = x_C - x_B = -3 - 3 = -6,
\Delta y_{BC} = y_C - y_B = -2 - (-2) = 0.
Aplicando a fórmula da distância:
BC = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6.
Observação simpática: como B e C têm a mesma ordenada ( y=-2), o segmento BC é horizontal e seu comprimento é simplesmente a diferença absoluta das abscissas, ou seja |-3-3|=6.

Passo 4

Calcular AB. Usamos A(0,5) e B(3,-2).\n
Diferenças:
\Delta x_{AB} = x_B - x_A = 3 - 0 = 3,
\Delta y_{AB} = y_B - y_A = -2 - 5 = -7.
Aplicando a fórmula:
AB = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}.
Pequena intuição: o deslocamento total entre A e B é 3 unidades à direita e 7 para baixo; o comprimento é a “hipotenusa” desse deslocamento.

Passo 5

Calcular AC. Usamos A(0,5) e C(-3,-2).\n
Diferenças:
\Delta x_{AC} = x_C - x_A = -3 - 0 = -3,
\Delta y_{AC} = y_C - y_A = -2 - 5 = -7.
Aplicando a fórmula:
AC = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}.
Observação útil: percebemos que AB = AC, então o triângulo é isósceles com A no vértice superior e BC como base horizontal. Isso confirma que os cálculos de AB e AC deram o mesmo valor.

Passo 6

Somar os comprimentos para obter o perímetro P:\n
P = AB + BC + AC = \sqrt{58} + 6 + \sqrt{58} = 6 + 2\sqrt{58}.
Opcional (apenas para ter uma noção numérica): \sqrt{58}\approx 7,6158, então P\approx 6 + 2\cdot 7,6158 \approx 21,2316.

Resposta

6 + 2\sqrt{58}

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