1. Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções.
    b) g(t)=10 \cos (50 \pi t+\pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o período fundamental e a frequência fundamental da função
g(t)=10\cos\!\bigl(50\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Informações dadas:
\text{amplitude} = 10,
\text{argumento do cosseno} = 50\pi t+\tfrac{\pi}{4}.
Ou seja, o que nos interessa diretamente é o coeficiente que multiplica t dentro do cosseno (o termo angular).

Passo 2

Conceito importante — forma padrão e definições:
A função harmônica geral pode ser escrita como
A\cos(\omega t + \varphi),
onde:
  • A é a amplitude (não altera período nem frequência);
  • \omega é a frequência angular, medida em rad/s (radianos por segundo);
  • \varphi é a fase (deslocamento de fase).
    O período fundamental T é o menor número positivo tal que a função repete: isso ocorre quando o argumento do cosseno aumenta de 2\pi. Assim, para \omega fixo,
\omega T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}.
A frequência fundamental f (em hertz, Hz) é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.

Passo 3

Identificar \omega e \varphi na função dada:
Comparando g(t)=10\cos(50\pi t + \tfrac{\pi}{4}) com A\cos(\omega t+\varphi), temos
\omega = 50\pi
e
\varphi = \tfrac{\pi}{4}.
Observe que a amplitude 10 e a fase \tfrac{\pi}{4} não mudam o período nem a frequência.

Passo 4

Calcular o período usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Substituindo \omega=50\pi,
T=\frac{2\pi}{50\pi}.
Simplificando (cancelando \pi):
T=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}.

Passo 5

Interpretar o resultado do período em unidades de tempo:
T=\frac{1}{25}\\ \text{s}.
Se preferir em decimal, isso é 0,04\\ \text{s}.

Passo 6

Calcular a frequência como f=\dfrac{1}{T} ou f=\dfrac{\omega}{2\pi}. Usando T=\dfrac{1}{25},
f=\frac{1}{T}=25.
A unidade é hertz, então f=25\\ \text{Hz}.

Passo 7

Verificação alternativa (para reforçar a ideia): escrevendo o argumento como 50\pi t = 2\pi(25)t, obtemos a forma \cos(2\pi\cdot 25\; t + \varphi), o que mostra diretamente que a frequência em Hz é 25 e o período é 1/25 s. Isso confirma os cálculos anteriores.

Resposta

T=\dfrac{1}{25}\\ \text{s}=0,04\\ \text{s}
f=25\\ \text{Hz}

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