1. Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções.
    d) g(t)=\cos (2 \pi t)+\operatorname{sen}(3 \pi t)+\cos (5 \pi t-3 \pi / 4)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=\cos(2\pi t)+\operatorname{sen}(3\pi t)+\cos\!\left(5\pi t-\tfrac{3\pi}{4}\right)
e pede duas coisas: o período fundamental e a frequência fundamental de g(t).
Informações relevantes fornecidas:
\text{termos:}\quad \cos(2\pi t),\quad \operatorname{sen}(3\pi t),\quad \cos\!\left(5\pi t-\tfrac{3\pi}{4}\right).
Em cada termo, o argumento é da forma \omega t+\varphi, onde \omega é a pulsação (frequência angular) e \varphi é a fase. Para cada termo podemos identificar \omega:
\omega_1=2\pi,\quad \omega_2=3\pi,\quad \omega_3=5\pi.
O que precisamos achar: o menor T>0 tal que g(t+T)=g(t) para todo t (período fundamental T_0) e a frequência fundamental f_0=\dfrac{1}{T_0}.

Passo 2

Relembrando uma fórmula básica (aqui eu explico como usar no exame):
Uma função do tipo \cos(\omega t+\varphi) ou \sin(\omega t+\varphi) tem período
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui \omega é a pulsação (a constante que multiplica t dentro da função trigonométrica). Essa fórmula vem do fato de que a função trigonométrica repete seu valor quando o argumento aumenta de 2\pi: se \omega(t+T)=\omega t+2\pi então T=2\pi/\omega.
Agora aplico isso a cada termo do problema.

Passo 3

Calculo dos períodos de cada termo, usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
Para \cos(2\pi t): \omega_1=2\pi, então
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Para \operatorname{sen}(3\pi t): \omega_2=3\pi, então
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}.
Para \cos\!\left(5\pi t-\tfrac{3\pi}{4}\right): \omega_3=5\pi, então
T_3=\frac{2\pi}{\omega_3}=\frac{2\pi}{5\pi}=\frac{2}{5}.
Expliquei cada passo porque, na prova, identificar \omega corretamente é meio caminho andado.

Passo 4

Uma explicação prática para o caso de soma de senos e cossenos: o sinal composto será periódico se existir um T>0 que seja múltiplo de todos os períodos individuais; o período fundamental T_0 é então o mínimo comum múltiplo (m.c.m.) dos T_i.
Método mais direto para esse exemplo (uso uma forma bem prática): é mais fácil trabalhar com as frequências ordinárias f_i=1/T_i. A frequência de cada termo é
f_1=\frac{1}{T_1}=1,\quad f_2=\frac{1}{T_2}=\frac{3}{2},\quad f_3=\frac{1}{T_3}=\frac{5}{2}.
A frequência fundamental f_0 do sinal composto é o maior número positivo que divide todos os f_i (isto é, o máximo divisor comum — m.d.c. — das frequências). Para encontrar esse m.d.c. de números racionais, escrevemos tudo com denominador comum. Aqui observe que
f_1=\frac{2}{2},\quad f_2=\frac{3}{2},\quad f_3=\frac{5}{2}.
Todos têm denominador 2, e os numeradores são 2,3,5. O maior número que divide simultaneamente 2,3,5 é 1, então o m.d.c. dos f_i como frações com denominador 2 é \dfrac{1}{2}. Portanto
f_0=\frac{1}{2}.
(Dica rápida: outra forma — equivalente — é buscar o menor T>0 tal que T/T_1, T/T_2 e T/T_3 sejam inteiros. A análise com multiplicadores mostra que T deve ser inteiro e múltiplo de 2, então o menor é T=2.)

Passo 5

Com f_0=\dfrac{1}{2} obtemos o período fundamental como o recíproco:
T_0=\frac{1}{f_0}=2.
Verificação rápida (útil na prova para ganhar confiança): T_0/T_1=2/1=2 (inteiro), T_0/T_2=2/(2/3)=3 (inteiro), T_0/T_3=2/(2/5)=5 (inteiro). Então T_0=2 é realmente um período comum. É o menor porque qualquer período comum tem que ser múltiplo desses três, e 2 é o menor que funciona.
Se quiser também a pulsação fundamental (às vezes pedida):
\omega_0=2\pi f_0=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi.

Resposta

Período fundamental: T_0=2.
Frequência fundamental: f_0=\dfrac{1}{2}.

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