- Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções.
d)
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: o período fundamental e a frequência fundamental de
.
Informações relevantes fornecidas:
Em cada termo, o argumento é da forma
, onde
é a pulsação (frequência angular) e
é a fase. Para cada termo podemos identificar
:
O que precisamos achar: o menor
tal que
para todo
(período fundamental
) e a frequência fundamental
.
Passo 2
Relembrando uma fórmula básica (aqui eu explico como usar no exame):
Uma função do tipo ou
tem período
Uma função do tipo
Aqui
é a pulsação (a constante que multiplica
dentro da função trigonométrica). Essa fórmula vem do fato de que a função trigonométrica repete seu valor quando o argumento aumenta de
: se
então
.
Agora aplico isso a cada termo do problema.
Passo 3
Calculo dos períodos de cada termo, usando
:
Para
:
, então
Para
:
, então
Para
:
, então
Expliquei cada passo porque, na prova, identificar
corretamente é meio caminho andado.
Passo 4
Uma explicação prática para o caso de soma de senos e cossenos: o sinal composto será periódico se existir um
que seja múltiplo de todos os períodos individuais; o período fundamental
é então o mínimo comum múltiplo (m.c.m.) dos
.
Método mais direto para esse exemplo (uso uma forma bem prática): é mais fácil trabalhar com as frequências ordinárias
. A frequência de cada termo é
A frequência fundamental
do sinal composto é o maior número positivo que divide todos os
(isto é, o máximo divisor comum — m.d.c. — das frequências). Para encontrar esse m.d.c. de números racionais, escrevemos tudo com denominador comum. Aqui observe que
Todos têm denominador
, e os numeradores são
. O maior número que divide simultaneamente
é
, então o m.d.c. dos
como frações com denominador
é
. Portanto
(Dica rápida: outra forma — equivalente — é buscar o menor
tal que
,
e
sejam inteiros. A análise com multiplicadores mostra que
deve ser inteiro e múltiplo de
, então o menor é
.)
Passo 5
Com
obtemos o período fundamental como o recíproco:
Verificação rápida (útil na prova para ganhar confiança):
(inteiro),
(inteiro),
(inteiro). Então
é realmente um período comum. É o menor porque qualquer período comum tem que ser múltiplo desses três, e 2 é o menor que funciona.
Se quiser também a pulsação fundamental (às vezes pedida):
Resposta
Período fundamental:
.
Frequência fundamental:
.