Calcule o pH das seguintes soluções.
c. Solução de \mathrm{NH}_{3} 1,0 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução de \mathrm{NH}_{3} com concentração inicial \;1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Informação dada: concentração da base fraca \mathrm{NH}_{3} é \;1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Pergunta: calcular o pH dessa solução. Vou assumir temperatura 25^\circ\mathrm{C} (valor padrão em exercícios), portanto usarei K_b(\mathrm{NH}_3)=1{,}8\times10^{-5}.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • pH e pOH: o pH mede a acidez; o pOH mede a basicidade. Em 25^\circ\mathrm{C} vale
\mathrm{pH}+\mathrm{pOH}=14.
  • Relação entre concentração de íons hidroxila e pOH:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}\bigl([\mathrm{OH}^-]\bigr),
onde [\mathrm{OH}^-] é a molaridade dos íons hidroxila.
  • Reação de equilíbrio para a amônia em água:
\mathrm{NH}_3 + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{NH}_4^+ + \mathrm{OH}^-.
  • Constante de basicidade K_b expressa:
K_b=\frac{[\mathrm{NH}_4^+][\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{NH}_3]}.
Vamos montar um equilíbrio (ICE) e resolver para [\mathrm{OH}^-], depois obter pOH e pH.

Passo 3

Montando a tabela ICE (Initial → Change → Equilibrium). Chamo a concentração inicial de \mathrm{NH}_3 de c, com c=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{M}. Inicialmente [\mathrm{NH}_4^+]=0 e [\mathrm{OH}^-] proveniente da base é zero (ignoramos a autoionização da água por enquanto porque a contribuição será muito menor se [\mathrm{OH}^-] resultante for bem maior que 10^{-7}\\ \mathrm{M}; verificaremos isso depois).
Tabela:
\begin{array}{lccc} & \mathrm{NH}_3 & \rightleftharpoons & \mathrm{NH}_4^+ + \mathrm{OH}^-\\\ \text{inicial} & c=1{,}0\times10^{-4} & & 0\quad\quad 0\\\ \text{variação} & -x & & +x\quad\quad +x\\\ \text{equilíbrio} & c-x & & x\quad\quad x \end{array}çãí
Portanto, em equilíbrio [\mathrm{OH}^-]=x.

Passo 4

Escrevendo a expressão de K_b em função de x:
K_b=\frac{[\mathrm{NH}_4^+][\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{NH}_3]}=\frac{x\cdot x}{c-x}=\frac{x^2}{c-x}.
Substituindo K_b=1{,}8\times10^{-5} e c=1{,}0\times10^{-4} obtemos a equação:
1{,}8\times10^{-5}=\frac{x^2}{1{,}0\times10^{-4}-x}.
Multiplicando ambos os lados por (1{,}0\times10^{-4}-x) e rearranjando:
x^2 + (1{,}8\times10^{-5})x - (1{,}8\times10^{-5})(1{,}0\times10^{-4})=0.
Para simplificar, vamos calcular o termo constante:
(1{,}8\times10^{-5})(1{,}0\times10^{-4})=1{,}8\times10^{-9}.
Logo a equação quadrática é
x^2 + 1{,}8\times10^{-5}\,x - 1{,}8\times10^{-9}=0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática pela fórmula de Bhaskara. Para ax^2+bx+c=0 temos
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1{,}8\times10^{-5}, c=-1{,}8\times10^{-9}. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (1{,}8\times10^{-5})^2 - 4\cdot1\cdot(-1{,}8\times10^{-9}).
Primeiro (1{,}8\times10^{-5})^2=3{,}24\times10^{-10}. Em seguida
-4ac = -4\cdot1\cdot(-1{,}8\times10^{-9})=+7{,}2\times10^{-9}.
Somando,
\Delta = 3{,}24\times10^{-10} + 7{,}2\times10^{-9}=7{,}524\times10^{-9}.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{7{,}524\times10^{-9}}\approx 8{,}673\times10^{-5}.
Agora aplicamos Bhaskara (tomamos o sinal + porque precisamos da solução positiva):
x=\frac{-1{,}8\times10^{-5} + 8{,}673\times10^{-5}}{2} = \frac{6{,}873\times10^{-5}}{2}=3{,}4365\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Portanto [\mathrm{OH}^-]=x\approx 3{,}4365\times10^{-5}\ \mathrm{M}.

Passo 6

Calculando \mathrm{pOH} e \mathrm{pH}:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}\bigl([\mathrm{OH}^-]\bigr)=-\log_{10}\bigl(3{,}4365\times10^{-5}\bigr).
Calculemos o logaritmo: \log_{10}(3{,}4365)\approx0{,}5366, então
\log_{10}\bigl(3{,}4365\times10^{-5}\bigr)=0{,}5366-5=-4{,}4634.
Assim
\mathrm{pOH}=-(-4{,}4634)=4{,}4634.
Usando \mathrm{pH}+\mathrm{pOH}=14,
\mathrm{pH}=14-4{,}4634=9{,}5366\approx9{,}54.

Passo 7

Verificação da aproximação e comentários práticos (didática):
  • Uma verificação comum é tentar a aproximação x\ll c e usar x\approx\sqrt{K_b c}. Aqui
\sqrt{K_b c}=\sqrt{1{,}8\times10^{-5}\cdot1{,}0\times10^{-4}}=\sqrt{1{,}8\times10^{-9}}\approx4{,}24\times10^{-5},
que difere da solução exata 3{,}44\times10^{-5}; a ionização percentual é
\frac{x}{c}\times100\%=\frac{3{,}4365\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-4}}\times100\%\approx34{,}4\%.
Como a ionização não é pequena (≈34%), a aproximação x\ll c não é válida aqui — por isso resolvemos a quadrática. Bom hábito: verificar sempre a validade da aproximação.
  • Também podemos checar que [\mathrm{OH}^-] obtido ( \sim3{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{M}) é muito maior que 10^{-7}\\ \mathrm{M}, então a contribuição da autoionização da água é desprezível.

Resposta

\mathrm{pH}=9{,}54

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