Calcule a potência entregue a um bipolo em t=2 \mathrm{~ms} se a carga que entra pelo terminal positivo é
q(t)=12 \cos (125 \pi t) \mathrm{mC}
e a tensão é
v(t)=4 \operatorname{sen}(125 \pi t) \quad \mathrm{V}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a potência entregue a um bipolo no instante t=2\\ \mathrm{ms}.
Informações dadas:
q(t)=12\cos(125\pi t)\\ \mathrm{mC}
v(t)=4\operatorname{sen}(125\pi t)\\ \mathrm{V}
Observação importante: a carga q(t) está em miliCoulombs; para trabalhar com correntes (SI) precisamos converter para Coulombs.

Passo 2

Relação entre carga e corrente: a corrente i(t) que entra pelo terminal positivo é a derivada temporal da carga que entra por esse terminal. Ou seja,
i(t)=\frac{dq(t)}{dt}.
Explicando devagar: q(t) tem unidades de Coulomb; derivando em relação ao tempo obtemos Coulomb por segundo, que é Ampere. A regra de derivação básica que vamos usar é \dfrac{d}{dt}\cos(at)=-a\sin(at), onde a é constante.

Passo 3

Convertemos q(t) para Coulombs antes de derivar:
q(t)=12\cos(125\pi t)\\ \mathrm{mC}=12\cdot10^{-3}\cos(125\pi t)\\ \mathrm{C}.
Agora derivamos:
i(t)=\frac{d}{dt}\bigl(12\cdot10^{-3}\cos(125\pi t)\bigr) =12\cdot10^{-3}\cdot\bigl(-125\pi\bigr)\sin(125\pi t).
Multiplicando os números:
12\cdot125=1500\quad\Rightarrow\quad 12\cdot10^{-3}\cdot125=1{,}5.
Logo
i(t)=-1{,}5\pi\sin(125\pi t)\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Definição da potência instantânea (convenção passiva): a potência associada ao bipolo é
p(t)=v(t)\,i(t).
Explicando: multiplicamos a tensão (em volts) pela corrente que entra no terminal positivo (em ampères) e obtemos potência em watts. Substituindo v(t) e i(t):
p(t)=\bigl(4\sin(125\pi t)\bigr)\cdot\bigl(-1{,}5\pi\sin(125\pi t)\bigr) =-6\pi\sin^2(125\pi t)\\ \mathrm{W}.
Interpretação da expressão: o sinal negativo aparece porque i(t) ficou negativo quando \sin(125\pi t) for positivo, o que indica transferência de energia no sentido oposto à entrada positiva (ver explicação de sinal no passo final).

Passo 5

Agora avaliamos em t=2\\ \mathrm{ms}=0{,}002\\ \mathrm{s}. Primeiro o argumento do seno:
125\pi t=125\pi\cdot0{,}002=0{,}25\pi=\frac{\pi}{4}.
Sabemos que \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
\sin^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}.
Substituindo em p(t):
p(2\\ \mathrm{ms})=-6\pi\cdot\frac{1}{2}=-3\pi\\ \mathrm{W}.
Valor numérico aproximado:
-3\pi\\ \mathrm{W}\approx -9{,}4248\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Interpretação do sinal: pela convenção utilizada (potência p=v\cdot i com i entrando no terminal positivo), p>0 significa que o bipolo está absorvendo (recebendo) potência; p<0 significa que o bipolo está entregando (fornecendo) potência ao resto do circuito. Aqui p(2\\ \mathrm{ms}) é negativo, portanto o bipolo está entregando potência ao circuito nesse instante.

Resposta

-3\pi\\ \mathrm{W}\approx -9{,}4248\\ \mathrm{W}

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