Você deseja atingir um alvo que está a alguns metros de distância com uma moeda que possui massa de
e carga de
. A moeda é lançada a uma velocidade inicial 24,6
, e existe um campo elétrico uniforme de cima para baixo com intensidade igual a 68,8 N/C por toda a região. Se você mirar diretamente o alvo e lançar a moeda horizontalmente, quais são o módulo, a direção e o sentido do campo magnético uniforme necessários na região para a moeda atingir o alvo?
Passo 1
O enunciado pede que a moeda atinja o alvo quando lançada horizontalmente mirando diretamente nele. Para isso queremos encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético uniforme que deve existir na região. Dados fornecidos (vou listar em SI):
Pergunta explícita: quais são (1) o módulo de
, (2) a direção de
e (3) o sentido de
, de modo que a moeda atinja o alvo quando lançada horizontalmente mirando diretamente nele?
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (apenas a fórmula, depois explico cada coisa):
Aqui:
-
é a força total sobre a carga. -
é a carga elétrica da moeda (positivo neste caso). -
é o campo elétrico (força elétrica por unidade de carga). -
é a velocidade instantânea da moeda. -
é o campo magnético. -
é o produto vetorial: dá um vetor perpendicular a e com módulo , onde é o ângulo entre e .
Explicação curta e intuitiva: a moeda sofre uma força elétrica
e uma força magnética
. Para não desviar verticalmente (para cima ou para baixo) ao longo do trajeto até o alvo, a soma das componentes verticais dessas forças deve dar zero.
Passo 3
Estratégia para resolver: se eu miro diretamente no alvo e disparo horizontalmente, quero que não haja aceleração vertical enquanto a moeda cruza a região — isto é, quero a componente vertical da força total nula. Assim imporemos:
Como
podemos dividir por
e exigir que
Passo 4
Definimos um sistema de eixos para raciocinar claramente (isso não muda a resposta física, apenas torna a explicação concreta):
- tomo o eixo
apontando para a frente, na direção em que eu quero atingir o alvo (direção do lançamento horizontal). Então . - tomo o eixo
apontando para cima. O enunciado diz que o campo elétrico é de cima para baixo, portanto aponta para baixo, ou seja . - o eixo
segue o sistema ortogonal direito (saindo da página para o leitor é ).
Logo:
Passo 5
Calculemos a força elétrica sobre a moeda (direção e módulo):
Como
e
para baixo,
é para baixo (componente vertical negativa) e tem módulo
.
Para anular essa tendência para baixo precisamos que a força magnética tenha componente vertical para cima (positivo em
) com mesmo módulo. A força magnética é
Queremos que a componente em
de
seja igual a
(para cancelar
). Como
, basta que a componente
de
seja
.
Se escolhermos
perpendicular a
(caso mais simples e suficiente), o módulo da força magnética será
e sua direção dada pela regra da mão direita aplicada a
.
Passo 6
Igualando módulos (caso
perpendicular a
e produzindo força vertical para cima):
Observe que a massa
da moeda não aparece: estamos apenas pedindo que forças se cancelem, portanto a aceleração vertical será zero independentemente de
.
Passo 7
Substituímos os valores numéricos:
Fazendo a divisão passo a passo:
Arredondando com três algarismos significativos (os dados têm tipicamente 3 s.f.):
Passo 8
Agora determinamos a direção e o sentido (orientação do vetor
). Queremos
apontando para cima (
). Com
, precisamos de um
tal que
onde
é a direção unitária de
. Usando as regras do produto vetorial entre os versores:
Logo
Isto mostra que
deve apontar na direção
, ou seja, para dentro da página/plano (no sentido “para dentro”, afastando-se do observador). Em linguagem espacial: se você olha para a cena e a moeda vai para a direita, o campo magnético precisa apontar para dentro do plano (perpendicular ao plano formado pela direção do tiro e a vertical).
Passo 9
Resumo físico e observação sobre sinais: porque
usamos a regra da mão direita normalmente. Se a carga fosse negativa, o sentido necessário de
seria invertido (pois
mudaria de sinal).
Resposta
direção: perpendicular à direção do lançamento e à vertical (isto é, perpendicular ao plano formado pela velocidade e pela vertical)
sentido: para dentro do plano (no sentido