Você deseja atingir um alvo que está a alguns metros de distância com uma moeda que possui massa de 4,25 \mathrm{~g} e carga de 2,50 \mathrm{mC}. A moeda é lançada a uma velocidade inicial 24,6 \mathrm{m} / \mathrm{s}, e existe um campo elétrico uniforme de cima para baixo com intensidade igual a 68,8 N/C por toda a região. Se você mirar diretamente o alvo e lançar a moeda horizontalmente, quais são o módulo, a direção e o sentido do campo magnético uniforme necessários na região para a moeda atingir o alvo?

Passo 1

O enunciado pede que a moeda atinja o alvo quando lançada horizontalmente mirando diretamente nele. Para isso queremos encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético uniforme que deve existir na região. Dados fornecidos (vou listar em SI):
\text{massa: }m=4{,}25\\ \mathrm{g}=0{,}00425\\ \mathrm{kg}
\text{carga: }q=2{,}50\\ \mathrm{mC}=2{,}50\times 10^{-3}\\ \mathrm{C}
\text{velocidade inicial (horizontal): }v=24{,}6\\ \mathrm{m/s}
\text{campo elétrico uniforme de cima para baixo: }E=68{,}8\\ \mathrm{N/C}é
Pergunta explícita: quais são (1) o módulo de \vec{B}, (2) a direção de \vec{B} e (3) o sentido de \vec{B}, de modo que a moeda atinja o alvo quando lançada horizontalmente mirando diretamente nele?

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (apenas a fórmula, depois explico cada coisa):
\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).
Aqui:
  • \vec{F} é a força total sobre a carga.
  • q é a carga elétrica da moeda (positivo neste caso).
  • \vec{E} é o campo elétrico (força elétrica por unidade de carga).
  • \vec{v} é a velocidade instantânea da moeda.
  • \vec{B} é o campo magnético.
  • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial: dá um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B} com módulo vB\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.
Explicação curta e intuitiva: a moeda sofre uma força elétrica \vec{F}_E=q\vec{E} e uma força magnética \vec{F}_B=q(\vec{v}\times\vec{B}). Para não desviar verticalmente (para cima ou para baixo) ao longo do trajeto até o alvo, a soma das componentes verticais dessas forças deve dar zero.

Passo 3

Estratégia para resolver: se eu miro diretamente no alvo e disparo horizontalmente, quero que não haja aceleração vertical enquanto a moeda cruza a região — isto é, quero a componente vertical da força total nula. Assim imporemos:
\text{componente vertical de }\vec{F}=0 \quad\Longrightarrow\quad q\vec{E}+q(\vec{v}\times\vec{B})\\ \text{tem componente vertical zero.}
Como q\neq 0 podemos dividir por q e exigir que
\vec{E}+(\vec{v}\times\vec{B}) \\ \text{tenha componente vertical zero.}

Passo 4

Definimos um sistema de eixos para raciocinar claramente (isso não muda a resposta física, apenas torna a explicação concreta):
  • tomo o eixo x apontando para a frente, na direção em que eu quero atingir o alvo (direção do lançamento horizontal). Então \vec{v}=v\hat{\imath}.
  • tomo o eixo y apontando para cima. O enunciado diz que o campo elétrico é de cima para baixo, portanto \vec{E} aponta para baixo, ou seja \vec{E}=-E\hat{\jmath}.
  • o eixo z segue o sistema ortogonal direito (saindo da página para o leitor é +\hat{k}).
Logo:
\vec{v}=v\hat{\imath},\qquad \vec{E}=-E\hat{\jmath}.

Passo 5

Calculemos a força elétrica sobre a moeda (direção e módulo):
\vec{F}_E=q\vec{E}=q(-E\hat{\jmath})=-qE\hat{\jmath}.
Como q>0 e \vec{E} para baixo, \vec{F}_E é para baixo (componente vertical negativa) e tem módulo qE.
Para anular essa tendência para baixo precisamos que a força magnética tenha componente vertical para cima (positivo em y) com mesmo módulo. A força magnética é
\vec{F}_B=q(\vec{v}\times\vec{B}).
Queremos que a componente em y de \vec{F}_B seja igual a +qE (para cancelar -qE). Como q>0, basta que a componente y de (\vec{v}\times\vec{B}) seja +E.
Se escolhermos \vec{B} perpendicular a \vec{v} (caso mais simples e suficiente), o módulo da força magnética será qvB e sua direção dada pela regra da mão direita aplicada a \vec{v}\times\vec{B}.

Passo 6

Igualando módulos (caso \vec{B} perpendicular a \vec{v} e produzindo força vertical para cima):
qvB = qE \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{E}{v}.
Observe que a massa m da moeda não aparece: estamos apenas pedindo que forças se cancelem, portanto a aceleração vertical será zero independentemente de m.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos:
B=\frac{E}{v}=\frac{68{,}8\\ \mathrm{N/C}}{24{,}6\\ \mathrm{m/s}}.
Fazendo a divisão passo a passo:
68{,}8\div 24{,}6 \approx 2{,}79756\\ \mathrm{T}.
Arredondando com três algarismos significativos (os dados têm tipicamente 3 s.f.):
B\approx 2{,}80\\ \mathrm{T}.

Passo 8

Agora determinamos a direção e o sentido (orientação do vetor \vec{B}). Queremos \vec{v}\times\vec{B} apontando para cima ( +\hat{\jmath}). Com \vec{v}=v\hat{\imath}, precisamos de um \vec{B} tal que
\hat{\imath}\times\hat{b}=+\hat{\jmath},
onde \hat{b} é a direção unitária de \vec{B}. Usando as regras do produto vetorial entre os versores:
\hat{\imath}\times\hat{k} = -\hat{\jmath}.
Logo
\hat{\imath}\times(-\hat{k})=+\hat{\jmath}.
Isto mostra que \vec{B} deve apontar na direção -\hat{k}, ou seja, para dentro da página/plano (no sentido “para dentro”, afastando-se do observador). Em linguagem espacial: se você olha para a cena e a moeda vai para a direita, o campo magnético precisa apontar para dentro do plano (perpendicular ao plano formado pela direção do tiro e a vertical).

Passo 9

Resumo físico e observação sobre sinais: porque q>0 usamos a regra da mão direita normalmente. Se a carga fosse negativa, o sentido necessário de \vec{B} seria invertido (pois \vec{F}_B=q\vec{v}\times\vec{B} mudaria de sinal).

Resposta

B\approx 2{,}80\\ \mathrm{T}
direção: perpendicular à direção do lançamento e à vertical (isto é, perpendicular ao plano formado pela velocidade e pela vertical)
sentido: para dentro do plano (no sentido -\hat{k}, ou seja, “para dentro da página”)

Exercícios relacionados