Uma carga em Y com Z_{A}=3+j 0 \Omega, Z_{B}=2+j 3 \Omega, Z_{C}=2-j 1 \Omega, está ligada a um sistema CBA 3 \varphi, 100 \mathrm{~V}, a 4 condutores. Determinar as correntes de linha e no neutro, supondo positivo o sentido que se dirige para a carga.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que é fornecido):\n
Temos uma carga em Y ligada a um sistema trifásico 3 \varphi a 4 condutores (neutro disponível). Os valores das impedâncias de fase são:\n
Z_{A}=3+j0\\ \Omega,\quad Z_{B}=2+j3\\ \Omega,\quad Z_{C}=2-j1\\ \Omega\n
O sistema é descrito como “CBA 3 \varphi, 100 V, a 4 condutores”. Vou considerar que a tensão informada 100\\ \mathrm{V} é a tensão entre fases (tensão linha a linha), ou seja V_{LL}=100\\ \mathrm{V}. A sequência de fases é \mathrm{CBA}.\n
O que se pede: determinar as correntes de linha I_{A}, I_{B}, I_{C} (positivas no sentido que se dirigem para a carga) e a corrente no neutro I_{N} (também tomada positiva no sentido que se dirige para a carga).

Passo 2

Cálculo da tensão fase-neutro (magnitude) e explicação do porquê:\n
Para uma conexão em estrela (Y) a relação entre a tensão linha-linha V_{LL} e a tensão fase-neutro V_{ph} é
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
Aqui V_{LL} é a magnitude da tensão entre quaisquer duas fases, e V_{ph} é a magnitude da tensão entre uma fase e o neutro. Substituindo:
V_{ph}=\frac{100}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}=57{,}735\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Definição das fasores das tensões de fase segundo a sequência \mathrm{CBA} e conversão para forma retangular:\n
A sequência \mathrm{CBA} significa que a fase C está adiantada (ou tomada como referência de ângulo) e as demais seguem a partir dela por deslocamentos de 120^\circ. Tomando
V_{C}=V_{ph}\angle 0^\circ,\quad V_{B}=V_{ph}\angle -120^\circ,\quad V_{A}=V_{ph}\angle +120^\circ,
temos em forma retangular (uso V_{ph}=57{,}735\\ \mathrm{V}):
V_{C}=57{,}735+ j0\\ \mathrm{V},
V_{B}=57{,}735\angle -120^\circ = -28{,}8675 - j50{,}000\\ \mathrm{V},
V_{A}=57{,}735\angle +120^\circ = -28{,}8675 + j50{,}000\\ \mathrm{V}.
Observação: os valores -28{,}8675 e 50{,}000 resultam de 57{,}735\cdot\cos120^\circ e 57{,}735\cdot\sin120^\circ.

Passo 4

Fórmula geral para corrente em carga em Y e explicação da divisão de números complexos:\n
Em uma carga ligada em Y a corrente de cada fase é dada por
I_{k}=\frac{V_{k}}{Z_{k}},
onde V_{k} é a tensão de fase (fase k para o neutro) e Z_{k} é a impedância da fase k. Para dividir complexos, uma forma prática é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{V}{Z}=\frac{V\cdot Z^{*}}{|Z|^{2}}.
Vou aplicar isso fase a fase. Lembre-se: signo positivo é sentido para a carga (convenção do enunciado).

Passo 5

Cálculo de I_{A} (caso simples, Z_{A} real):\n
Como Z_{A}=3+j0=3\\ \Omega, a divisão é direta:
I_{A}=\frac{V_{A}}{Z_{A}}=\frac{-28{,}8675 + j50{,}000}{3}=-9{,}6225 + j16{,}6667\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo (conversão para forma polar):\n
|I_{A}|=\sqrt{(-9{,}6225)^{2}+(16{,}6667)^{2}}=19{,}25\\ \mathrm{A}\quad(\text{aprox.}),
\angle I_{A}=120^\circ\quad\Rightarrow\quad I_{A}=19{,}25\angle 120^\circ\\ \mathrm{A}.
Observação: o ângulo é 120^\circ porque V_{A} tinha ângulo +120^\circ e Z_{A} é puramente real positivo.

Passo 6

Cálculo de I_{B} (divisão por Z_{B}=2+j3) com passo a passo:\n
Dados: V_{B}=-28{,}8675 - j50{,}000, Z_{B}=2+j3. Calculo usando o conjugado:
|Z_{B}|^{2}=2^{2}+3^{2}=13,
Z_{B}^{*}=2-j3.
Multiplicando o numerador:
V_{B}\cdot Z_{B}^{*}=(-28{,}8675 - j50{,}000)(2 - j3).
Fazendo a multiplicação termo a termo:
(-28{,}8675)\cdot 2 = -57{,}735,
(-28{,}8675)\cdot(-j3)=+j86{,}6025,
(-j50{,}000)\cdot 2=-j100{,}000,
(-j50{,}000)\cdot(-j3)= -150{,}000\\ (\text{pois }(-j)(-j)=j^{2}=-1).
Somando partes reais e imaginárias:
V_{B}\cdot Z_{B}^{*}=-57{,}735 -150{,}000 + j(86{,}6025-100{,}000) = -207{,}735 - j13{,}3975.
Dividindo por |Z_{B}|^{2}=13:
I_{B}=\frac{-207{,}735 - j13{,}3975}{13}=-15{,}9796 - j1{,}0306\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_{B}|=\sqrt{(-15{,}9796)^{2}+(-1{,}0306)^{2}}=16{,}01\\ \mathrm{A}\quad(\text{aprox.}),
\angle I_{B}=\arctan\!\left(\frac{-1{,}0306}{-15{,}9796}\right)\approx -176{,}3^\circ,
entendendo a posição no terceiro quadrante (real e imaginária negativas).

Passo 7

Cálculo de I_{C} (divisão por Z_{C}=2-j1) com passo a passo:\n
Dados: V_{C}=57{,}735 + j0, Z_{C}=2-j1. Conjugado e módulo:
Z_{C}^{*}=2+j1,\quad |Z_{C}|^{2}=2^{2}+(-1)^{2}=5.
Multiplicando:
V_{C}\cdot Z_{C}^{*}=(57{,}735)(2+j1)=115{,}470 + j57{,}735.
Dividindo por 5:
I_{C}=\frac{115{,}470 + j57{,}735}{5}=23{,}094 + j11{,}547\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_{C}|=\sqrt{(23{,}094)^{2}+(11{,}547)^{2}}=25{,}82\\ \mathrm{A}\quad(\text{aprox.}),
\angle I_{C}=\arctan\!\left(\frac{11{,}547}{23{,}094}\right)=26{,}565^\circ.

Passo 8

Cálculo da corrente no neutro I_{N} usando KCL no ponto de união das fases (sinal positivo no sentido para a carga):\n
Pela conservação de corrente no nó da carga (KCL):
I_{A}+I_{B}+I_{C}+I_{N}=0.
Assim
I_{N}=-(I_{A}+I_{B}+I_{C}).
Somando as componentes retangulares já obtidas:
I_{A}+I_{B}+I_{C}=(-9{,}6225 + j16{,}6667)+(-15{,}9796 - j1{,}0306)+(23{,}094 + j11{,}547)
= -2{,}5081 + j27{,}1831\\ \mathrm{A}.
Logo
I_{N}= -(-2{,}5081 + j27{,}1831)=2{,}5081 - j27{,}1831\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_{N}|=\sqrt{(2{,}5081)^{2}+(-27{,}1831)^{2}}=27{,}31\\ \mathrm{A}\quad(\text{aprox.}),
\angle I_{N}=\arctan\!\left(\frac{-27{,}1831}{2{,}5081}\right)\approx -84{,}73^\circ.

Resposta

I_{A}=-9{,}6225 + j16{,}6667\\ \mathrm{A}=19{,}25\angle 120^\circ\\ \mathrm{A}\n
I_{B}=-15{,}9796 - j1{,}0306\\ \mathrm{A}=16{,}01\angle -176{,}3^\circ\\ \mathrm{A}\n
I_{C}=23{,}094 + j11{,}547\\ \mathrm{A}=25{,}82\angle 26{,}565^\circ\\ \mathrm{A}\n
I_{N}=2{,}5081 - j27{,}1831\\ \mathrm{A}=27{,}31\angle -84{,}73^\circ\\ \mathrm{A}

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