Calcule a potência indicada de A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -8 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right].
a) Encontre A^{2018}
b) Encontre A^{n} onde n é um inteiro positivo qualquer.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -8\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e pede (a) A^{2018} e (b) A^n para inteiro positivo n. Para matrizes triangulares, os elementos da diagonal de A^n são as potências dos elementos da diagonal de A, e os elementos acima da diagonal podem ser obtidos por recursões linha a linha.

Passo 2

Os elementos da diagonal de A^n são
(A^n)_{11} = 1^n = 1,\qquad (A^n)_{22} = (-1)^n,\qquad (A^n)_{33} = (-1)^n.

Passo 3

Seja B_n = (A^n)_{12}. Da multiplicação A^{n+1}=A^nA vem
B_{n+1} = (A^n)_{11}\cdot 2 \;+\;(A^n)_{12}\cdot(-1) = 2 - B_n.
Resolvendo a recorrência B_{n+1}+B_n=2 com B_1=2, obtemos
B_n = 1 - (-1)^n.

Passo 4

Seja C_n = (A^n)_{13}. De forma análoga,
C_{n+1} = (A^n)_{11}\cdot(-8)\;+\;(A^n)_{13}\cdot(-1) = -8 - C_n,
isto é, C_{n+1}+C_n=-8 com C_1=-8. A solução é
C_n = 4\,(-1)^n - 4.

Passo 5

Reunindo, para n\ge1:
A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 - (-1)^n & 4\,(-1)^n - 4\\[6pt] 0 & (-1)^n & 0\\[3pt] 0 & 0 & (-1)^n \end{pmatrix}.]

Passo 6

Para n=2018, como (-1)^{2018}=1, temos
1 - (-1)^{2018} = 0, \qquad 4\,(-1)^{2018} - 4 = 0, \qquad (-1)^{2018}=1,
portanto
A^{2018} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3.

Resposta

(a)
A^{2018} = I_3.
(b)
A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 - (-1)^n & 4\,(-1)^n - 4\\\\ 0 & (-1)^n & 0\\\\ 0 & 0 & (-1)^n \end{pmatrix}.

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