Calcule as potências:
\left(\frac{2}{3}\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}. Isso é tudo o que foi dado: a fração \dfrac{2}{3} elevada ao expoente 2. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa potência.

Passo 2

Entender o que significa o expoente 2: para qualquer número x,
x^{2}=x\cdot x.
Aplicando isso à fração, temos
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}.

Passo 3

Regra de multiplicação de frações: ao multiplicar \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}, multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador:
\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}.
Usando isso,
\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 3}.

Passo 4

Calcular os produtos no numerador e no denominador:
2\cdot 2=4,\qquad 3\cdot 3=9.
Portanto
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}.
Obs.: a fração \dfrac{4}{9} já está irredutível porque \gcd(4,9)=1.

Passo 5

(Atalho/cheat sheet para a prova) Existe uma propriedade geral útil:
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}
para inteiros positivos n. Aplicando aqui: 2^{2}=4 e 3^{2}=9, chegando ao mesmo resultado \dfrac{4}{9}.
Um exemplo extra rápido para fixar: \left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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