Calcule as primitivas abaixo:
\int \frac{1}{\mathrm{t} \ln (\mathrm{t})} \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{1}{t\,\ln(t)}\,dt.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos a composição \ln(t) no denominador e um fator 1/t que sugere usar u=\ln(t).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(t).
Dessa forma, derivando ambos os lados, obtemos
du = \frac{1}{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{dt}{t}=du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Note que
\frac{1}{t\,\ln(t)}\,dt = \frac{1}{u}\,\frac{dt}{t} = \frac{1}{u}\,du.
Portanto a integral original fica
\int \frac{1}{t\,\ln(t)}\,dt = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

A integral de \frac{1}{u} em u é a função logaritmo natural de u. Logo,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável t (nosso u era \ln(t)), temos
\ln\bigl|u\bigr| + C = \ln\bigl|\ln(t)\bigr| + C.

Resposta

\ln\bigl|\ln(t)\bigr| + C.

Exercícios relacionados