Calcule as primitivas abaixo:
\int \frac{1}{\mathrm{t} \ln (\mathrm{t})} \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{1}{t\,\ln(t)} \mathrm{d}t.
Como no denominador temos \ln(t) e no numerador aparece implicitamente a derivada de \ln(t), a técnica adequada é a substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(t).
Dessa forma,
\mathrm{d}u = \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}u,
e \ln(t)=u.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{1}{t\,\ln(t)} \mathrm{d}t = \int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

A integral de \tfrac{1}{u} é
\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável t, com u=\ln(t), resulta
\ln\bigl|\ln(t)\bigr| + C.

Resposta

\ln\bigl|\ln(t)\bigr| + C

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